Determine a transformada de Laplace da função g(t) = t2 cos t,...

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Determine a transformada de Laplace da função g(t) = t2 cos t, sabendo que
ℒ [ cos t] =
s
s
2

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Saraivaimoveis Calebe · Answer 1 · 2023-02-13T15:47:58-03:00

Ao realizar os cálculos concluímos que a transformada de Laplace dá função g(t) = t² cos t é:

$oxed{oxed{oxed{large - dfrac{2scdot (-s^2+3)}{(s^2+1)^{3}}}}}~large ou~ oxed{oxed{oxed{large dfrac{2scdot (s^2-3)}{(s^2+1)^{3}}}}}$

O problema é sobre as transformadas de Laplace. A transformada de Laplace é uma transformação integral que converte uma função variável real "t" em uma função variável complexa "s".

¿Qual é a integral transformada que descreve a transformada de Laplace?

A integral que descreve a transformada de Laplace é a seguinte integral imprópria:

$oxed{oxed{oxed{large mathcal{L}left{f(t) ight}=int^{infty}_0 f(t) e^{-st}dt}}}$

Em que:

$egin{cases}large mathcal{L} left{f(t) ight} : Transformada ~ de ~ Laplace \ large s:Nacute{u}mero ~complexo\ large t: Nacute{u}mero ~ real\ large dt: Derivada~da~func_{!!,} ilde{a}oend{cases}$

Mas para simplificar nossa integral imprópria poderíamos usar algumas propriedades existentes da transformada de Laplace, no nosso caso aplicamos a seguinte propriedade:

$oxed{oxed{oxed{large mathcal{L}left{t^n f(t) ight} = left(-1 ight)^n dfrac{d^n}{ds^n} left(mathcal{L} left{f(t) ight} ight) }}}$

Antes de usar esta propriedade, vamos analisar a função real para ver quais dados ela nos fornece:

$large mathcal{L}left{t^2 cos(t) ight}$

Como podemos ver o número real "t" é elevado ao quadrado e a função real é igual ao cosseno de t, então nossos dados são:

$egin{cases}large mathcal{L} left{cos (t) ight} = dfrac{s}{s^2+1}\ large n = 2end{cases}$

Substituímos nossos dados na propriedade:

$large left(-1 ight)^2 dfrac{d^2}{ds^2} dfrac{s}{s^2+1} \ \ large dfrac{d^2}{ds^2} dfrac{s}{s^2+1}\ \ large dfrac{d}{ds}left(dfrac{d}{ds}dfrac{s}{s^2+1} ight)$

Primeiro resolvemos a primeira derivada para isso devemos aplicar uma propriedade conhecida como regra do quociente e isso será simplificado como:

$oxed{oxed{oxed{left(dfrac{f}{g} ight)'=dfrac{f'cdot g-g'cdot f}{g^2}}}}$

Se repetirmos isso com nossa função com variável complexa, obtemos:

$large dfrac{d}{ds}left(dfrac{s'cdot (s^2+1)-(s^2+1)'cdot s}{(s^2+1)^2} ight)$

$large dfrac{d}{ds}left(dfrac{1cdot (s^2+1)-s^2 '+1' cdot s}{(s^2+1)^2} ight)$

$large dfrac{d}{ds}left(dfrac{(s^2+1)-2s+0cdot s}{(s^2+1)^2} ight)$

$large dfrac{d}{ds}left(dfrac{(s^2+1)-2scdot s}{(s^2+1)^2} ight)$

$large dfrac{d}{ds}left(dfrac{s^2+1-2s^2}{(s^2+1)^2} ight)$

$large dfrac{d}{ds}dfrac{-s^2+1}{(s^2+1)^2}$

Como resolvemos a primeira derivada, vamos resolver a segunda derivada aplicando as mesmas propriedades da derivada anterior.

$large dfrac{(-s^2+1)'cdot (s^2+1)^2 -(s^2+1)^2 ' cdot(-s^2+1)}{left((s^2+1)^2 ight)^2}$

$large dfrac{-s^2 '+1'cdot (s^2+1)^2 -2(s^2+)cdot (s^2+1)'cdot(-s^2+1)}{left((s^2+1)^2 ight)^2}$

$large dfrac{-2scdot (s^2+1)^2 -2(s^2+)cdot 2scdot(-s^2+1)}{left((s^2+1)^2 ight)^2}$

$large dfrac{-2scdot (s^2+1)^2 -4s(s^2+1)cdot(-s^2+1)}{(s^2+1)^4}$

Uma vez que ambas as derivadas foram feitas, começamos a simplificar a expressão e fatorar a expressão inteira:

$large dfrac{-2scdot (s^2+1)^2 -2cdot 2s(s^2+1)cdot(-s^2+1)}{(s^2+1)^4}$

$large dfrac{-2scdot (s^2+1) 2cdot (-s^2+1)}{(s^2+1)^4}$

$large dfrac{-2scdot (s^2+1) cdot - 2s(s^2+1+2(-s^2+1))}{(s^2+1)^4}$

$large dfrac{-2scdot (s^2+1) (s^2+1-2s^2+2) }{(s^2+1)^4}$

$large dfrac{-2scdotcancel{ (s^2+1)}cdot (-s^2+3)}{(s^2+1)^{ ot4}}$

$oxed{oxed{oxed{large - dfrac{2scdot (-s^2+3)}{(s^2+1)^{3}}}}}~large ou~ oxed{oxed{oxed{large dfrac{2scdot (s^2-3)}{(s^2+1)^{3}}}}}$

Mais sobre o tópico de transformada de Laplace em:

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