Considere o intervalo abaixo para o exercício. Se tgx = 2, qu...

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Considere o intervalo abaixo para o exercício. Se tgx = 2, qual o valor de senx X ∈ [180°,270°]

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Pamelasilva Liz Ribeiro

Vamos pegar a relação fundamental da trigonometria e dividi-la por cos² (x).

(sf sen {}^{2} x + cos {}^{2} x = 1) div cos {}^{2} x sf \ \ sf frac{sen {}^{2} x}{cos {}^{2} x} + frac{cos {}^{2} x}{cos {}^{2} x} = frac{1}{cos {}^{2}x } \ \ sf (frac{senx}{cosx} ) {}^{2} + 1 = ( frac{1}{cosx} ) {}^{2} \ \ oxed{sf tan {}^{2} x + 1 = sec {}^{2} x}

Portanto vamos usar essa fórmula para encontrar o seno de "x".

Note que na fórmula a tangente está ao quadrado, então teremos que elevar o valor que possuímos da tangente.

sf tan {}^{2} x + 1 = sec {}^{2} x \ \ sf (2) {}^{2} + 1 = frac{1}{cos {}^{2}x} \ \ sf 4 + 1 = frac{1}{cos {}^{2}x }

De acordo com o relação fundamental, temos que cos²x é igual a:

sf sen {}^{2} x + cos {}^{2} x = 1 \ ast : sf cos {}^{2} x = 1 - sen {}^{2} x : ast

Substituindo:

sf 4 + 1 = frac{1}{1 - sen {}^{2} x} \ \ sf 5 .(1 - sen {}^{2} x) = 1 \ \ sf 5 - 5sen {}^{2} x = 1 \ \ sf - 5sen {}^{2} x = 1 - 5 \ \ sf - 5sen {}^{2} x = - 4 \ \ sf sen {}^{2} x = frac{ - 4}{ - 5} \ \ sf sen{}^{2}x = frac{4}{5} \ \ sf senx = pmsqrt{ frac{4}{5} } \ \ sf senx = pm frac{2}{ sqrt{5} } \ \ sf senx = pm frac{2}{ sqrt{5} } . frac{ sqrt{5} }{ sqrt{5} } \ \ oxed{sf senx = pm frac{2 sqrt{5} }{5} }

A questão nos diz que o "x" está no intervalo de 180° a 270°, ou seja, no terceiro quadrante onde o seno é negativo, portanto vamos desprezar o valor positivo, sendo assim a nossa resposta igual a:

oxed{ sf senx = - frac{2 sqrt{5} }{5} }

Espero ter ajudado

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