(UM-SP)A reta r passa pelo ponto P (1,0) e é perpendicular à r...

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(UM-SP)A reta r passa pelo ponto P (1,0) e é perpendicular à reta s dada por y = 2x+3. Se o ponto Q (a,4) pertence à reta r, então a vale: a) 0 b) -3 c).-7 d) 7 e) 3

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Sofia

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o valor da abscissa "a" que torna o ponto "Q" pertencente à reta "r" é:

                    Largedisplaystyle ext{$egin{gathered}oxed{oxed{:::f a = -7:::}}end{gathered}$}

Portanto, a opção correta é:

            Largedisplaystyle ext{$egin{gathered}oxed{oxed{:::f Alternativa:C:::}}end{gathered}$}    

Sejam os dados:

                    Largeegin{cases} P(1, 0)\Q(a, 4)\s: y = 2x + 3end{cases}

Para resolver esta questão, devemos:

  • Recuperar o coeficiente angular da reta "s". Sabendo que toda equação reduzida da reta é montada utilizando-se da seguinte fórmula:

        Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} f(I)end{gathered}$}              Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} y = mx + nend{gathered}$}    

        Onde:

             Largeegin{cases} m = extrm{Coeficiente angular}\n = extrm{Coeficiente linear}end{cases}

        Comparando os coeficientes da reta "s" com a equação "I", temos:

               Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} s: y = 2x + 3 Longrightarrow m_{s} = 2end{gathered}$}

                          Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} herefore:::m_{s} = 2end{gathered}$}  

  • Determinar o coeficiente angular da reta "r".

          Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} extrm{Se}:rperp sLongrightarrow m_{r}cdot m_{s} = -1Longrightarrow m_{r} = -frac{1}{m_{s}}end{gathered}$}

                         Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} herefore:::m_{r} = -frac{1}{2}end{gathered}$}

  • Determinar a equação da reta "r" passando pelo ponto "P". Como já temos o ponto "P" e a declividade - coeficiente angular "mr" - então devemos utilizar a fórmula do "ponto/declividade". Então, temos:

         Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} f(II)end{gathered}$}       Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} y - y_{P} = m_{r}cdot(x - x_{P})end{gathered}$}

        Substituindo os dados na equação "II", temos:

                     Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} y - 0 = -frac{1}{2}cdot(x - 1)end{gathered}$}

                              Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} y = -frac{1}{2}x + frac{1}{2}end{gathered}$}

                       Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} herefore:::r: y = -frac{1}{2}x + frac{1}{2}end{gathered}$}

  • Calcular o valor da abscissa "a" para que o ponto "Q" pertença à reta "r". Neste caso, devemos inserir as coordenadas do ponto "Q" na reta "r" para calcular o valor de "a". Então, temos:

                                Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} 4 = -frac{1}{2}a + frac{1}{2}end{gathered}$}

                                 Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} 4 = frac{-a + 1}{2}end{gathered}$}

                                 Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} 8 = -a + 1end{gathered}$}

                        Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} 8 - 1 = -aend{gathered}$}

                                 Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} 7 = -aend{gathered}$}

                             Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} -a = 7end{gathered}$}

                                Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} a = -7end{gathered}$}

✅ Portanto, o valor de "a" é:

                                Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} a = -7end{gathered}$}

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