Por favor me ajudem, é urgente! Um abajur tem o formato de um...

Question

Por favor me ajudem, é urgente! Um abajur tem o formato de um...

Por favor me ajudem, é urgente! Um abajur tem o formato de um tronco de cone cujos raios das bases medem 8 cm e 20 cm e cuja altura mede 20 cm. Para revestir sua superfície lateral com um papel decorativo, qual a quantidade aproximada, em centímetros quadrados, necessária?
(Utilize π = 3,14 e √34=5,83)

A) 1280 cm^2
B) 2050 cm^2
C) 2490 cm^2
D) 3160 cm^2
E) 3270 cm^2

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ClayverSantos · Answer 1 · 2023-07-31T06:40:57-03:00

2050 cm^2

Explicação passo-a-passo:

Sejam H a altura do cone maior e h a altura do cone menor. Então: H - h = 20.

$frac{H}{h} = frac{20}{8} = frac{5}{2} Rightarrow H = frac{5}{2} cdot h$ (i)

A altura do cone é igual a diferença da altura do cone maior e altura do cone menor. Então: H - h = 8, donde: H = h + 20 (II)

Substituindo (I) em (II), temos:

$frac{5}{2} cdot h= h + 20$

Multiplicando a equação toda por 2, temos:

$5h = 2h + 405 h - 2h = 403h = 40h =frac{40}{3}$

Substituindo $h = frac{40}{3}$ na equação (I), temos:

$H = frac{5}{2} cdot frac{40}{3} = frac{200}{6} = frac{100}{3}$

Sejam G a geratriz do cone maior e g a geratriz do cone menor.

O raio do cone maior é 20 cm e o raio do cone menor é 8 cm.

Para o cone maior temos:

$G^2 = 20^2 + left(frac{100}{3}ight)^2=400 + frac{10000}{9} =frac{3600 + 10000}{9} = frac{13600}{9}$

Então:

$G = sqrt{frac{13600}{9 }} = frac{sqrt{13600} }{sqrt{9} } =frac{20sqrt{34} }{3}$

Para o cone menor, temos:

$g^2 = 8^2 + left(frac{40}{3}ight)^2= 64 + frac{1600}{9} = frac{576+1600}{9}= frac{2176}{9}$

Então:

$g = sqrt{frac{2176}{9} } = frac{sqrt{2176} }{sqrt{9} } = frac{8sqrt{34} }{3}$

A área lateral do tronco AL_T é igual a área lateral do cone maior menos a área lateral do cone menor, ou seja,

AL_T= picdot 20 cdot G - pi cdot 8 cdot g = pi cdot (20G - 8g) Substituindo os valores de G e g encontrados nessa última equação, temos:

$AL_T= = pi cdot left(20cdot frac{20sqrt{34} }{3} - 8cdot frac{8sqrt{34} }{3}ight) = pi cdot frac{400sqrt{34} - 64sqrt{34}}{3} = picdotfrac{336sqrt{34} }{3} = picdot 112sqrt{34}$

Substituindo nessa última expressão pi = 3,14 e sqrt{34} = 5,83 , temos:

AL cdot _T =3,14 cdot 112 cdot 5,83 cong 2050,29

Portanto, a área lateral aproximada é 2050 cm^2

Por favor me ajudem, é urgente! Um abajur tem o formato de um...

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