integral de (x+1) raiz quadrada de 2x+x^2 dx​

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integral de (x+1) raiz quadrada de 2x+x^2 dx​

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Samuel Velasques

Resposta:    displaystyleint (x+1)sqrt{2x+x^2},dx=frac{1}{3}sqrt{(2x+x^2)^3}+C.

Explicação passo a passo:

Calcular a integral indefinida

    displaystyleint (x+1)sqrt{2x+x^2},dx\\\=frac{1}{2}cdot int 2(x+1)sqrt{2x+x^2},dx\\\=frac{1}{2}int (2x+2)sqrt{2x+x^2},dx\\\ =frac{1}{2}int sqrt{2x+x^2}cdot (2+2x),dxqquadmathrm{(i)}

Faça a seguinte substituição:

    2x+x^2=uquadLongrightarrowquad (2+2x),dx=du

Substituindo, a integral (i) fica

    displaystyle=frac{1}{2}int sqrt{u},du\\\ =frac{1}{2}int u^{1/2},du

Integre aplicando a regra para primitiva de potências:

    =dfrac{1}{2}cdot dfrac{u^{(1/2)+1}}{frac{1}{2}+1}+C\\\ =dfrac{1}{2}cdot dfrac{u^{3/2}}{frac{3}{2}}+C\\\ =dfrac{1}{diagup!!!! 2}cdot dfrac{diagup!!!! 2}{3},u^{3/2}+C\\\ =dfrac{1}{3},u^{3/2}+C

Voltando à variável x:

    =dfrac{1}{3},(2x+x^2)^{3/2}+C\\\=dfrac{1}{3}sqrt{(2x+x^2)^3}+Cquadlongleftarrowquadmathsf{resposta.}

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