Em um ponto (x, y, z) do espaço, a interpretação física do rot...

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Em um ponto (x, y, z) do espaço, a interpretação física do rot...

Em um ponto (x, y, z) do espaço, a interpretação física do rotacional do campo vetorial F está relacionada à tendência do campo F de produzir rotação naquele ponto. Sabendo disso, considere o campo F(x,y,z)=(2x^3+4z^2 )i+(x^2-y)j+(z)k, e assinale a alternativa que contenha o seu rotacional

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Lara Fernandes · Answer 1 · 2022-04-13T09:42:27-03:00

Resposta: mathrm{rot}(mathbf{F})=(0,,8z,,2x).

Explicação passo a passo:

Calcular o rotacional do campo vetorial no $mathbb{R}^3$

mathbf{F}(x,,y,,z)=P(x,,y,,z)mathbf{i}+Q(x,,y,,z)mathbf{j}+R(x,,y,,z)mathbf{k}

com

$egin{cases}~P(x,,y,,z)=2x^3+4z^2 ~Q(x,,y,,z)=x^2-y ~R(x,,y,,z)=z end{cases}$

O rotacional de mathbf{F} é dado por

$mathrm{rot}(mathbf{F})=abla imes mathbf{F}\=left(dfrac{partial}{partial x},,dfrac{partial}{partial y},,dfrac{partial}{partial z}ight) imes Big(P(x,,y,,z),,Q(x,,y,,z),,R(x,,y,,z)Big)$

Podemos escrever o cálculo acima na forma de um determinante simbólico:

$=egin{vmatrix}mathbf{i}&mathbf{j}&mathbf{k}\ frac{partial}{partial x}& frac{partial}{partial y}&frac{partial}{partial z}\ P&Q&R end{vmatrix}$

$=egin{vmatrix}frac{partial}{partial y}&frac{partial}{partial z}\ Q&R end{vmatrix}mathbf{i}-egin{vmatrix}frac{partial}{partial x}&frac{partial}{partial z}\ P&R end{vmatrix}mathbf{j}+egin{vmatrix}frac{partial}{partial x}&frac{partial}{partial y}\ P&Q end{vmatrix}mathbf{k}$

$=left(dfrac{partial R}{partial y}-dfrac{partial Q}{partial z}ight)!mathbf{i}-left(dfrac{partial R}{partial x}-dfrac{partial P}{partial z}ight)!mathbf{j}+left(dfrac{partial Q}{partial x}-dfrac{partial P}{partial y}ight)!mathbf{k}$

Substituindo as coordenadas P,,Q e do campo vetorial e calculando as derivadas parciais indicadas, temos

$=left(dfrac{partial}{partial y}(z)-dfrac{partial}{partial z}(x^2-y)ight)!mathbf{i}-left(dfrac{partial}{partial x}(z)-dfrac{partial}{partial z}(2x^3+4z^2)ight)!mathbf{j}+left(dfrac{partial}{partial x}(x^2-y)-dfrac{partial}{partial y}(2x^3+4z^2)ight)!mathbf{k}$

$=(0-0)mathbf{i}-(0-8z)mathbf{j}+(2x-0)mathbf{k}\=(0)mathbf{i}+(8z)mathbf{j}+(2x)mathbf{k}\=(0,,8z,,2x)quadlongleftarrowquadmathsf{resposta.}$

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Bons estudos!

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