Dizemos que um número natural n é um cubo perfeito se existe u...

2 é o único primo nessas condições.

Explicação passo-a-passo:

Queremos encontrar todos os primos p tais que existem dois números naturais x,y satisfazendo:

p = x³ + y³

Lembrando que x³+y³ = (x+y) (x²-xy+y²) segue que

p = (x+y)(x²-xy+y²)

Como p é primo, temos duas opções:

1º caso: x+y = 1

Nesse caso, como os números envolvidos são naturais as únicas possibilidades são x=0,y=1 ou x=1 y=0. Em ambos os casos temos p = 1, que não é interessante.

2º caso: x² - xy + y² = 1

Nesse caso, adicionando -xy a ambos os lados obtemos

(x-y)² = 1-xy

Notamos que o lado esquerdo da equação é sempre não negativo. Isso implica que xy = 1 ou xy = 0, de onde obtemos as possibilidades (0,0),(1,0),(0,1) e (1,1). Dessas, a única que gera um primo é x = y = 1.

Obs.: Assumindo que os números podem ser negativos existem mais soluções. Por exemplo, 7 = 2³ - 1³