Determine o valor de k, sabendo que o reta de equação 2x-y+4=...

Vamos lá.

Pede-se o valor de "k", sabendo-se que a reta de equação 2x - y + 4 = 0 passa pelo ponto médio do segmento que une os pontos A(k; 1) e B(1; -k).

Antes veja que o ponto médio (M) do segmento que une os pontos A(k; 1) e B(1; -k), terá as seguintes coordenadas:

M[(k+1)/2; (1+(-k))/2]
M[(k+1)/2; (1-k)/2] <--- Este é o ponto médio.

Agora veja: se a reta de equação 2x - y + 4 = 0, passa no ponto médio acima, então vamos substituir o "x" e o "y" da equação da reta acima, pelas coordenadas do ponto médio, ou seja, substituiremos o "x" pela abscissa do ponto médio (k+1)/2, e substituiremos o "y" pela ordenada do ponto médio (1-k)/2 . Assim, repetindo a equação da reta acima, teremos:

2x - y + 4 = 0 fazendo as substituições vistas aí em cima, teremos:

2*(k+1)/2 - (1-k)/2 + 4 = 0 mmc = 2. Assim, utilizando-o em toda a expressão, teremos;

1*2(k+1) - 1*(1-k) + 2*4 = 2*0
2*(k+1) - (1-k) + 8 = 0 efetuando o produto indicado, temos:
(2k+2) - (1-k) + 8 = 0 --- retirando-se os parênteses, teremos:
2k+2 - 1 + k + 8 = 0 --- reduzindo os termos semelhantes, temos:
3k + 9 = 0 passando "9" para o 2º membro, temos:
3k = - 9
k = -9/3
k = - 3 <--- Esta é a resposta. Este deverá ser o valor de "k".

Bem, a resposta já está dada. Agora, só por curiosidade, se substituirmos o "k" por "-3", então os pontos A e B ficarão sendo:

A(-3; 1) e B(1; -(-3)) ---> B(1; 3) --- ou seja, teremos:

A(-3; 1) e B(1; 3) .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.​