Determine o valor de k, para que a distância entre a reta 3x +...

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Determine o valor de k, para que a distância entre a reta 3x +...

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Kailanerayssa

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Determine o valor de k, para que a distância entre a reta 3x + 4y - k = 0 e o ponto P(4, -5) seja 2

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Felipe · Answer 1 · 2021-12-01T11:49:23-03:00

Para calcular a distância entre o ponto e reta, temos a seguinte fórmula:

$oxed{ oxed{ sf d = frac{ |ax_o + by_o + c| }{ sqrt{a {}^{2} + b {}^{2} } } }}$

Os termos a, b e c são os coeficientes da equação geral da reta que a questão fornece, ou seja, 3x + 4y - k = 0, vamos identificar os coeficientes que são os números que se encontram a frente das letras com exceção do "c" que é o termo independente.

star : sf 3x + 4y - k = 0 : star egin{cases} sf a = 3 sf b = 4 sf c = 5 end{cases}

Já os elementos "x" e "y" são a representação dos valores da abcissa e ordenada do ponto P, do mesmo jeito que fizemos anteriormente, vamos identificar os valores.

star : sf P(4, -5) ightarrow x_o = 4 : : : : y_o = - 5 : star

Tendo organizado os valores, vamos substituir na fórmula:

$sf d = frac{ |ax_o + by_o + c| }{ sqrt{a {}^{2} + b {}^{2}}} sf d = frac{ |3.4 + 4.( - 5) + k| }{ sqrt{3 {}^{2} + 4 {}^{2} } }$

A distância "d" a questão diz que é "2", então vamos substituir também:

$sf 2 = frac{ | 12 - 20 + k | }{ sqrt{9 + 16}} sf 2 = frac{ | - 8 + k | }{ sqrt{25} } sf 2 = frac{ | - 8 + k| }{5} sf 5.2 = | - 8 + k| sf 10 = | - 8 + k|$

Agora devemos usar a propriedade de módulo que diz:

oxed{ sf |A| = B : : ou : : |A|= -B}

Aplicando:

sf i) - 8 + k = 10 sf k = 10 + 8 oxed{sf k = 18} sf ii) - 8 + k = - 10 sf k = - 10 + 8 oxed{ sf k = - 2}

RESPOSTA: letra a)

Espero ter ajudado

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