Calcule a integral de linha f x²dx + y²dy + z²dz ao longo do c...

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Kamila Faro

Calcule a integral de linha f x²dx + y²dy + z²dz ao longo do caminho C = C₁ + C₂. C₁ = (0,0,0) a (1,2,-1) e C₂ = (1,2,-1) a (3,2,0)​

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Estela Santarrosa

Resposta:  displaystyleint_C x^2,dx+y^2,dy+z^2,dz=frac{35}{3}.

Explicação passo a passo:

Calcular a integral de linha do campo vetorial

    mathbf{F}(x,,y,,z)=x^2mathbf{i}+y^2mathbf{j}+z^2mathbf{k}

ao longo do caminho C=C_1cup C_2, sendo

  •     C_1 o segmento de reta vai do ponto (0,,0,,0) a (1,,2,,-1);
  •     C_2 o segmento de reta vai do ponto (1,,2,,-1) a (3,,2,,0).

Parametrizando as curvas C_1 e C_2:

    C_1:~egin{cases}~x=0+t ~y=0+2t ~z=0-t end{cases}\Longleftrightarrowquad C_1:~egin{cases}~x=t ~y=2t ~z=-t end{cases}qquad mathrm{com~}0le tle 1.

    C_2:~egin{cases}~x=1+(3-1)t ~y=2+(2-2)t ~z=-1+(0-(-1))t end{cases}\ Longleftrightarrowquad C_2:~egin{cases}~x=1+2t ~y=2+0t ~z=-1+1t end{cases}\ Longleftrightarrowquad C_2:~egin{cases}~x=1+2t ~y=2 ~z=-1+t end{cases}qquadmathrm{com~}0le tle 1.

Logo, temos C_1(t)=(t,,2t,,-t) e C_2(t)=(1+2t,,2,,-1+t), com 0le tle 1.

Encontrando os vetores tangentes às curvas C_1 e C_2:

    Longrightarrowquad egin{cases}C_1'(t)=langle 1,,2,,-1angle\ C_2'(t)=langle 2,,0,,1angle end{cases}

A integral pedida é

    displaystyle =int_Cmathbf{F}cdot dmathbf{r}\ =int_C x^2,dx+y^2,dy+z^2,dz\ =int_C langle x^2,,y^2,,z^2angle cdot dmathbf{r}\ =int_{C_1cup C_2} langle x^2,,y^2,,z^2angle cdot dmathbf{r}

   displaystyle=int_{C_1} langle x^2,,y^2,,z^2angle cdot dmathbf{r}+int_{C_2} langle x^2,,y^2,,z^2angle cdot dmathbf{r}

   displaystyle=int_0^1 langle t^2,,(2t)^2,,(-t)^2angle cdot C_1'(t),dt+int_0^1 langle (1+2t)^2,,(2)^2,,(-1+t)^2angle cdot C_2'(t),dt

    displaystyle =int_0^1 langle t^2,,4t^2,,t^2angle cdot langle 1,,2,,-1angle ,dt+int_0^1 langle 1+4t+4t^2,,4,,1-2t+t^2 angle cdot langle 2,,0,,1 angle,dt

Efetuando os produtos escalares dos vetores, obtemos

    displaystyle =int_0^1 ig(t^2cdot 1+4t^2cdot 2+t^2cdot (-1)ig)dt+int_0^1 ig((1+4t+4t^2)cdot 2+4cdot 0+(1-2t+t^2)cdot 1ig)dt

    displaystyle =int_0^1 ig(t^2+8t^2-t^2ig),dt+int_0^1 ig((2+8t+8t^2)+0+(1-2t+t^2)ig)dt\ =int_0^1 8t^2,dt+int_0^1 ig(3+6t+9t^2ig)dt\=int_0^1 ig(8t^2+(3+6t+9t^2)ig)dt

    displaystyle =int_0^1 ig(3+6t+17t^2ig)dt\ =left.left(3t+dfrac{6t^2}{2}+dfrac{17t^3}{3}ight)ight|_0^1\ =left.left(3t+3t^2+frac{17t^3}{3}ight)ight|_0^1

    =left(3cdot 1+3cdot 1^2+dfrac{17cdot 1^3}{3}ight)-left(3cdot 0+3cdot 0^2+dfrac{17cdot 0^3}{3}ight)\ =left(3+3+dfrac{17}{3}ight)-(0)

    =dfrac{9+9+17}{3}\ =dfrac{35}{3}quadlongleftarrowquadmathsf{resposta.}

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)

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