As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando u...

Question

As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando u...

Sueli Reis

há 2 anos

As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando um pênalti são, respectivamente, 50%, 40% e 80%. Se cada um bater um único pênalti, qual a probabilidade do goleiro sofrer apenas um gol?

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Jp Carlos · Answer 1 · 2022-12-01T17:29:32-03:00

Resposta: A probabilidade de o goleiro sofrer apenas um gol é de 34%.

Explicação passo a passo:

Chamemos A,,B e os seguintes eventos:

Evento O primeiro jogador marca o gol ao cobrar o pênalti.

Evento O segundo jogador marca o gol ao cobrar o pênalti.

Evento O terceito jogador marca o gol ao cobrar o pênalti.

Os eventos A,,B e são eventos independentes, pois o fato de um jogador marcar o gol ao cobrar o pênalti não interfere na probabilidade de outro jogador também marcar o gol. Então, nesse caso, a probabilidade da interseção de quaisquer desses eventos é o produto das probabilidades individuais.

Queremos calcular a probabilidade de, se cada jogador bater um único pênalti, o goleiro sofrer exatamente um gol.

Isso pode acontecer de três formas distintas (e disjuntas).

Evento Apenas o primeiro jogador marca o gol ao cobrar o pênalti.

A probabilidade deste evento acontecer é

$p(E_1)=p(Acap overline{B}cap overline{C})\\ =p(A)cdot p(overline{B})cdot p(overline{C})\\ =p(A)cdot (1-p(B))cdot (1-p(C))\\=0,!50cdot (1-0,!40)cdot (1-0,!80)\\=0,!50cdot 0,!60cdot 0,!20\\ =0,!06=6\%qquadcheckmark$

Evento Apenas o segundo jogador marca o gol ao cobrar o pênalti.

$p(E_2)=p(overline{A}cap Bcap overline{C})\\ =p(overline{A})cdot p(B)cdot p(overline{C})\\ =(1-p(A))cdot p(B)cdot (1-p(C))\\=(1-0,!50)cdot 0,!40cdot (1-0,!80)\\=0,!50cdot 0,!40cdot 0,!20\\ =0,!04=4\%qquadcheckmark$

Evento Apenas o terceiro jogador marca o gol ao cobrar o pênalti.

$p(E_3)=p(overline{A}cap overline{B}cap C)\\ =p(overline{A})cdot p(overline{B})cdot p(C)\\ =(1-p(A))cdot (1-p(B))cdot p(C)\\=(1-0,!50)cdot (1-0,!40)cdot 0,!80\\=0,!50cdot 0,!60cdot 0,!80\\ =0,!24=24\%qquadcheckmark$

Como os eventos E_1,,E_2 e E_3 são mutuamente exclusivos, a probabilidade da união destes três eventos é igual à soma das probabilidades individuais.

Portanto, a probabilidade de, após cada jogador bater um único pênalti, o goleiro sofrer apenas um gol é

$p(E_1cup E_2cup E_3)=p(E_1)+p(E_2)+p(E_3)\\=6\%+4\%+24\%\\=34\%quadlongleftarrowquadmathsf{resposta.}$

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Bons estudos!

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