Apresente o estudo dos sinais da função f(x)=x^2+6x+8.

Função do 2º grau.

Sendo uma função do segundo grau do tipo , com

A função é uma parábola e podemos determinar todo estudo de sinais da função através de algumas relações.

Como saber se a parábola tem a concavidade para cima ou para baixo ?

A concavidade de um parábola pode ser determinada pelo coeficiente ""  

se :

- Concavidade virada para cima

- Concavidade virada para baixo

Como sabemos o ponto onde a  função/parábola corta o eixo y ?

Através do coeficiente "c", conhecido como termo independente. A função corta o eixo y exatamente no ponto igual a c.

Como saber onde a função/parábola é positiva e onde ela é negativa ?

A função é negativa abaixo o eixo x, e a função é positiva acima do eixo x.

Como montar a função no gráfico ?

Sabendo se a concavidade é voltada para cima ou para baixo,  achando as raízes da função e sabendo o ponto onde ela corta o eixo y, podemos marcá-los no gráfico e montar nossa função passando em cima dos pontos destacados.

Como saber se a função tem raízes iguais ou raízes diferentes  ?

tendo uma função , podemos determinar se as raízes serão iguais ou diferentes uma das outras, através do discriminante, que é mostrado pelo simbolo ()

Onde :

e se

- Duas raízes diferentes.

- Duas raízes iguais.

- não tem raízes reais ()

Como achar as raízes de uma função do 2º grau. ?

Podemos achar as raízes de uma função do 2º usando a fórmula de bhaskara.

função :

fórmula de bhaskara :

Sabendo disso, vamos para nossa questão.  

temos a seguinte função :

, ,

A questão pede o estudo de sinais, então precisamos saber onde a função corta o eixo x. Então vamos achar onde a função corta o eixo x,  usando bhaskara.

, b = ,

Substituindo na fórmula :

⇒ ⇒

e

⇒ ⇒  

Sabendo que a concavidade é voltada para cima, porque ( maior que 0) a função corta o eixo X nos pontos e

Note que entre  -4 e -2 a função é negativa e ao lado das raízes é positiva

Ou seja,

Função negativa no intervalo:  

( a função é negativa em x menor que -2 e x maior que -4)

Função positiva em :  

( a função é positiva em x menor que -4 e maior que -2 )

Na imagem mostra como ficaria a função no gráfico, e como ficaria o estudo de sinais da função.

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