A taxa de variação da função f(x,y,z) = ln(x^2+2y^2+3z^2) no p...

Question

A taxa de variação da função f(x,y,z) = ln(x^2+2y^2+3z^2) no p...

A taxa de variação da função f(x,y,z) = ln(x^2+2y^2+3z^2)
no ponto (-1,2,4), na direção v= 2/13i -4/13j-12/13k:

1. -314/741
2. 247/614
3. -308/741
4. -341/614
5. 214/741

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Emanuellyfsouza · Answer 1 · 2022-12-16T17:50:41-03:00

A variação na direção de v é: $abla f(x_0,y_0,z_0)cdot vec{v}$ desde que v seja um vetor unitário:

$||vec{v}||=sqrt{(frac{2}{13})^2+(frac{-4}{13})^2+(frac{-12}{13})^2}=frac{2sqrt{41}}{13}approx 0,9850$

Como o vetor não é unitário, vamos dividí-lo por esse valor:

$frac{vec{v}}{||vec{v}||}=(frac{2}{13}.frac{13}{2sqrt{41}},,frac{-2}{13}.frac{13}{2sqrt{41}},,frac{-12}{13}.frac{13}{2sqrt{41}})=(frac{1}{sqrt{41}},,frac{-2}{sqrt{41}},,frac{-6}{sqrt{41}})$

Calculando o vetor gradiente:

$abla f(x_0,y_0,z_0)=(frac{partial f}{partial x},;frac{partial f}{partial y},;frac{partial f}{partial z})=(frac{2x}{x^2+2y^2+3z^2},;frac{4y}{x^2+2y^2+3z^2},;frac{6z}{x^2+2y^2+3z^2})$

Por fim, calculando a derivada direcional:

$abla f(x_0,y_0,z_0)cdot vec{v}=(frac{2x}{x^2+2y^2+3z^2},;frac{4y}{x^2+2y^2+3z^2},;frac{6z}{x^2+2y^2+3z^2})cdot (frac{1}{sqrt{41}},,frac{-2}{sqrt{41}},,frac{-6}{sqrt{41}})$

Em (-1, 2, 4):

$(frac{2(-1)}{(-1)^2+2(2)^2+3(4)^2},;frac{4(2)}{(-1)^2+2(2)^2+3(4)^2},;frac{6(4)}{(-1)^2+2(2)^2+3(4)^2})cdot (frac{1}{sqrt{41}},,frac{-2}{sqrt{41}},,frac{-6}{sqrt{41}})\\(frac{-2}{57},;frac{8}{57},;frac{24}{57})cdot (frac{1}{sqrt{41}},,frac{-2}{sqrt{41}},,frac{-6}{sqrt{41}})\\frac{-2}{57sqrt{41}}-frac{16}{57sqrt{41}}-frac{144}{57sqrt{41}}\\frac{-162}{57sqrt{41}}$

Há algum erro no gabarito da questão.

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