2) Mostrar analiticamente que a distância entre dois pontos di...

Question

2) Mostrar analiticamente que a distância entre dois pontos di...

2) Mostrar analiticamente que a distância entre dois pontos distintos quaisquer no plano coordenado permanece sem modificação (invariável) sob uma transformação (translação e rotação) de coordenadas.

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Rodriguesdasil Luan · Answer 1 · 2023-01-25T12:03:29-03:00

Explicação passo a passo:

Mostrar analiticamente que a transformações de translação e rotação no plano são transformações isométricas (ou isometrias), isto é, preservam as distâncias entre dois pontos quaisquer.

Sejam A(x_1,,y_1) e B(x_2,,y_2) dois pontos quaisquer do plano $mathbb{R}^2.$

Translação:

Sendo $T:~mathbb{R}^2 omathbb{R}^2$ a transformação de translação de coordenadas para o sistema com nova origem no ponto O'(h,,k), temos

T(x,,y)=(x-h,,y-k)

Portanto,

$Longrightarrowquad egin{cases}T(A)=T(x_1,,y_1)=(x_1-h,,y_1-k)\\ T(B)=T(x_2,,y_2)=(x_2-h,,y_2-k) end{cases}$

Queremos mostrar que das distâncias entre os pontos nos dois sistemas de coordenadas são iguais, isto é, |T(B)-T(A)|=|B-A|:

$=|(x_2-x_1,,y_2-y_1)|\\=|(x_2,,y_2)-(x_1,,y_1)|\\=|B-A|qquadquadsquare$

Rotação:

Sendo $R_ heta:~mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2$ a transformação de rotação de coordenadas a um ângulo heta no sentido anti-horário, temos

$R_ heta!egin{bmatrix}x\y end{bmatrix}=egin{bmatrix}cos heta&mathrm{sen,} heta\-mathrm{sen,} heta&cos heta end{bmatrix}cdot egin{bmatrix}x\y end{bmatrix}\\\ Longleftrightarrowquad R_ heta!egin{bmatrix}x\y end{bmatrix}=left[egin{array}{rcl}xcos heta&!!!+!!!&y,mathrm{sen,} heta\ -x,mathrm{sen,} heta&!!!+!!!&ycos heta end{array} ight]$

$Longleftrightarrowquad R_ heta(x,,y)=(xcos heta+y,mathrm{sen,} heta,;-x,mathrm{sen,} heta+ycos heta)$

Portanto,

$Longrightarrowquadegin{cases}R_ heta(A)=R_ heta(x_1,,y_1)=(x_1cos heta+y_1,mathrm{sen,} heta,;-x_1,mathrm{sen,} heta+y_1cos heta)\\ R_ heta(B)=R_ heta(x_2,,y_2)=(x_2cos heta+y_2,mathrm{sen,} heta,;-x_2,mathrm{sen,} heta+y_2cos heta) end{cases}$

Queremos mostrar que das distâncias entre os pontos nos dois sistemas de coordenadas são iguais, isto é, |R_ heta(B)-R_ heta(A)|=|B-A|:

|R_ heta(B)-R_ heta(A)|

$=left|Big(x_2cos heta+y_2,mathrm{sen,} heta,,-x_2,mathrm{sen,} heta+y_2cos hetaBig)-Big(x_1cos heta+y_1,mathrm{sen,} heta,,-x_1,mathrm{sen,} heta+y_1cos hetaBig) ight|$

$=left|Big(x_2cos heta+y_2,mathrm{sen,} heta-(x_1cos heta+y_1,mathrm{sen,} heta),,-x_2,mathrm{sen,} heta+y_2cos heta-(-x_1,mathrm{sen,} heta+y_1cos heta)Big) ight|$

$=left|Big(x_2cos heta+y_2,mathrm{sen,} heta-x_1cos heta-y_1,mathrm{sen,} heta,;-x_2,mathrm{sen,} heta+y_2cos heta+x_1,mathrm{sen,} heta-y_1cos hetaBig) ight|$

$=left|Big((x_2-x_1)cos heta+(y_2-y_1),mathrm{sen,} heta,;(x_2-x_1)(-,mathrm{sen,} heta)+(y_2-y_1)cos hetaBig) ight|$

Aplicando a fórmula para o cálculo da distância, a expressão acima fica

$=sqrt{Big((x_2-x_1)cos heta+(y_2-y_1),mathrm{sen,} hetaBig)^2+Big((x_2-x_1)(-,mathrm{sen,} heta)+(y_2-y_1)cos hetaBig)^2}$

Expandindo os quadrados:

$egin{array}{lcl}=!!&sqrt{Big((x_2-x_1)^2cos^2 heta+2(x_2-x_1)(y_2-y_1)cos heta,mathrm{sen,} heta+(y_2-y_1)^2,mathrm{sen^2,} hetaBig)+ldots}\\ &overline{ldots +Big((x_2-x_1)^2,mathrm{sen^2,} heta-2(x_2-x_1)(y_2-y_1)cos heta,mathrm{sen,} heta+(y_2-y_1)^2cos^2 hetaBig)} end{array}$

Cancelando os termos opostos e agrupando os termos semelhantes, a expressão fica

$=sqrt{(x_2-x_1)^2(cos^2 heta+mathrm{sen^2,} heta)+(y_2-y_1)^2(mathrm{sen^2,} heta+cos^2 heta)}\\ =sqrt{(x_2-x_1)^2cdot 1+(y_2-y_1)^2cdot 1}\\ =sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

$=|(x_2-x_1,;y_2-y_1)|\\ =|(x_2,,y_2)-(x_1,,y_1)|\\ =|B-A|qquadquadsquare$

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Bons estudos! :-)

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