1-mostre que a aplicação de r em r definida por f(x) = x+3 é b...

Question

1-mostre que a aplicação de r em r definida por f(x) = x+3 é b...

Nicolle

há 13 anos

1-mostre que a aplicação de r em r definida por f(x) = x+3 é bijetora. determine sua inversa! 2-dada a aplicação f(x) = |x|. determine f( f-¹([0,3]), ,2]). esboce cada situação!

galerinha precisando disso pra quinta anoite alguém pode me ajudar?

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Fernandaa · Answer 1 · 2021-12-01T11:54:22-03:00

Olá, César,

(1) Para mostrar que f(x) é bijetora, devemos mostrar que ela é injetora e sobrejetora.

Prova de que f(x) é injetora (por absurdo):
Suponhamos que existam x_1
eq x_2 tais que f(x_1)=f(x_2).
Como f(x_1)=f(x_2) temos que f(x_1)-f(x_2)=0.
Mas f(x_1)-f(x_2)=x_1 + 3 - x_2 - 3 = x_1 - x_2
eq 0,
$pois, por hip'otese, x_1 eq x_2 (mathbf{absurdo})$
herefore f 'e injetora

Definição: f(x) é sobrejetora se: forall y in CD, exists x in D mid f(x)=x+3=y.

$mathbf{Prova:}\Seja y in CD.\Tomando-se x mid x = y - 3, temos que$

$f(x)=f(y-3)=y-3+3=y Rightarrow\ forall y in CD 'e$
poss'ivel encontrar xin D mid f(x)=y
herefore f(x) 'e sobrejetora
$herefore f(x) 'e mathbf{bijetora} e f^{-1}(x)=x-3$

(2)

$egin{cases}& f(x) = x, se xgeq 0 \ & f(x) = -x, se x$

$(a) f(1-sqrt{2})=|1-sqrt{2}|=sqrt{2}-1, pois sqrt{2} 1\\ (b) f^{-1}([0,3])=x, pois x0, forall x in [0,3] \\ (c) f^{-1}((-1,2]) n~ao existe, pois f((-1,2]) n~ao 'e injetora,\ uma vez que, para x_1=-frac12 e x_2=frac12, temos f(x_1)=f(x_2)=frac12.\ Como f n~ao 'e injetora Rightarrow f n~ao 'e bijetora Rightarrow f n~ao 'e invers'ivel$

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