05. Se x é um número real, a solução da equação exponencial 3...

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Explicação passo-a-passo:

A solução da equação exponencial 3^{2x}+3^{x+1}=1832x+3x+1=18 é x = 1.

Temos que a equação exponencial é 3^{2x}+3^{x+1}=1832x+3x+1=18 .

Perceba que podemos reescrever a equação exponencial da seguinte maneira:

(3^x)^2 + 3^x.3=18(3x)2+3x.3=18 .

Vamos fazer a substituição y = 3ˣ. Assim, obteremos a seguinte equação do segundo grau:

y² + 3y - 18 = 0.

Para resolver a equação do segundo grau acima, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = 3² - 4.1.(-18)

Δ = 9 + 72

Δ = 81

Como Δ > 0, então a equação do segundo grau possui duas soluções reais positivas.

y=frac{-3+-sqrt{81}}{2}y=2−3+−81

y=frac{-3+-9}{2}y=2−3+−9

y'=frac{-3+9}{2}=3y′=2−3+9=3

y''=frac{-3-9}{2}=-6y′′=2−3−9=−6 .

Agora, vamos testar os dois valores de y na substituição feita inicialmente.

Se y = 3, então: 3 = 3ˣ ∴ x = 1.

Se y = -6, então: -6 = 3ˣ. Neste caso, não temos solução.

Portanto, o conjunto solução da equação exponencial é S = {1}.