( UFSC ) Sabendo-se que uma das três raízes da equação 2x3 - 1...

Para resolver o problema, vamos utilizar a informação dada de que uma das raízes da equação cúbica

2x3−17x2+32x−12=02x^3 - 17x^2 + 32x - 12 = 02x3−17x2+32x−12=0

é x=12x = \\frac{1}{2}x=21​. Com isso, podemos usar a divisão sintética para encontrar o quociente dessa divisão, o que vai nos permitir fatorar a equação original e encontrar as outras duas raízes.

Passo 1: Usando a Divisão Sintética

Vamos dividir o polinômio 2x3−17x2+32x−122x^3 - 17x^2 + 32x - 122x3−17x2+32x−12 pelo fator correspondente à raiz x=12x = \\frac{1}{2}x=21​, ou seja, pelo polinômio (x−12)(x - \\frac{1}{2})(x−21​).

Para simplificar, multiplicamos o fator (x−12)(x - \\frac{1}{2})(x−21​) por 2 e, assim, dividimos o polinômio original pelo fator equivalente (2x−1)(2x - 1)(2x−1).

Coeficientes do Polinômio

Os coeficientes de 2x3−17x2+32x−122x^3 - 17x^2 + 32x - 122x3−17x2+32x−12 são:

222, −17-17−17, 323232, e −12-12−12.

Usando divisão sintética com o divisor 2x−12x - 12x−1 (o que equivale a usar o número 12\\frac{1}{2}21​ na divisão), encontramos o polinômio quociente de grau 2.

Passo 2: Encontrando o Polinômio Quociente

Após a divisão, o polinômio quociente será da forma ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0. Uma vez encontrado esse polinômio, podemos aplicar a fórmula da soma das raízes para um polinômio de segundo grau.

Se preferir, posso fazer o cálculo da divisão sintética para você.