∬S sen (x2+y2)dx dx, usando a integral dupla na forma polar, o...

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Pereirajosetga

há 2 anos - Matérias - Matemática

∬S sen (x2+y2)dx dx, usando a integral dupla na forma polar, onde S é a região definida por x2+y2≤πe x≥0.

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Emmanuelle Nóbrega · Answer 1 · 2022-12-26T16:10:11-03:00

Resposta: $displaystyleiint_{S}mathrm{sen}(x^2+y^2),dy,dx=pi.$

Explicação passo a passo:

Calcular a integral dupla

$displaystyleiint_{S}mathrm{sen}(x^2+y^2),dy,dx$

sendo a região do plano definida por

$S={(x,,y)inmathbb{R}^2:~x^2+y^2le pi~~mathrm{e}~~xge 0}.$

Esta região é a porção que se encontra à direita do eixo Oy, interior ao disco com centro na origem e raio sqrt{pi}, incluindo também o segmento que liga os pontos (0,,-,sqrt{pi}) e (0,,sqrt{pi}) (interseções com o eixo ).

Efetuando a mudança para coordenadas polares:

$left{egin{array}{l}x(r,, heta)=rcos heta\\ y(r,, heta)=r,mathrm{sen,} heta end{array} ight.qquadmathrm{com~}left{egin{array}{l}-dfrac{pi}{2}le hetaledfrac{pi}{2} \\ 0le rle sqrt{pi}end{array} ight.$

e usamos relação de transformação

x^2+y^2=r^2

O módulo do Jacobiano desta transformação é |mathrm{Jac,}varphi (r,, heta)|=r.

Escrevendo a integral dupla nas novas coordenadas, temos

$egin{array}{l}displaystyle=iint_{S'(r,, heta)}mathrm{sen}(r^2)cdot |mathrm{Jac,}varphi(r,, heta)|,dr,d heta\\\ displaystyle=int_{-pi/2}^{pi/2}int_0^{sqrt{pi}}mathrm{sen}(r^2)cdot r,dr,d heta\\\ displaystyle=int_{-pi/2}^{pi/2}left[int_0^{sqrt{pi}}mathrm{sen}(r^2)cdot r,dr ight]d hetaend{array}$

Integrando a função em obtemos

$egin{array}{l}displaystyle=int_{-pi/2}^{pi/2}left[-,frac{cos(r^2)}{2} ight]_{r=0}^{r=sqrt{pi}}d heta\\\ displaystyle=int_{-pi/2}^{pi/2}left[-,frac{cos((sqrt{pi})^2)}{2}+frac{cos(0^2)}{2} ight]d heta\\\ displaystyle=int_{-pi/2}^{pi/2}left[-,frac{cos(pi)}{2}+frac{cos(0)}{2} ight]d heta\\\ displaystyle=int_{-pi/2}^{pi/2}left[-,frac{(-1)}{2}+frac{1}{2} ight]d hetaend{array}$

$egin{array}{l}displaystyle=int_{-pi/2}^{pi/2} 1,d heta\\ = hetaBig|_{-pi/2}^{pi/2}\\ =dfrac{pi}{2}-left(-dfrac{pi}{2} ight)\\ =dfrac{pi}{2}+dfrac{pi}{2}\\ =piquadlongleftarrowquadmathsf{resposta.}end{array}$

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Bons estudos!

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