xy' + x^3 . lnx .y = 0

Isabelle Pacheco

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xy' + x^3 . lnx .y = 0

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Maria Eduarda Carnaval

Explicação passo a passo:

Vamos encontrar a solução dessa equação:

xy' + x^{3} .lnx.y = 0xy' = -x^{3}.lny y' = -x^{2} .lnx.y

frac{y'}{y} = -x^{2}.lnx\frac{dy}{dx}.frac{1}{y} = -x^{2} .lnx\frac{1}{y} . dy = (-x^{2} .lnx)dx\intlimits^._. {frac{1}{y}.dy } , = intlimits^._. {-x^{2}.lnx } ,dx \lny = intlimits^._. {-x^{2}.lnx } ,dx

Vamos calcular a integral da direita utilizando a integração por partes:

intlimits^._. {-x^{2}.lnx } ,dx = -(frac{x^{3} }{3} .lnx - intlimits^._. {frac{x^{3} }{3}.frac{1}{x} } , dx )\intlimits^._. {-x^{2}.lnx } ,dx = -frac{x^{3} }{3} .lnx + frac{1}{3} .intlimits^._. {x^{2} } dx \intlimits^._. {-x^{2}.lnx } ,dx = -frac{x^{3} }{3} .lnx + frac{1}{3}.frac{x^{3} }{3} \intlimits^._. {-x^{2}.lnx } ,dx = -frac{x^{3} }{3} .lnx + frac{x^{3} }{9} \Portanto:\ lny = -frac{x^{3} }{3} .lnx + frac{x^{3} }{9}\

e^{lny} = e^{-frac{x^{3} }{3} .lnx + frac{x^{3} }{9}} \y = e^{-frac{x^{3} }{3} .lnx + frac{x^{3} }{9}}

Espero ter ajudado :)

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