Utilizando a técnica de integrção apropriada, encontre∫X²e×dx

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Utilizando a técnica de integrção apropriada, encontre∫X²e×dx

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TonyWeber

há 3 anos - Matérias - Matemática

Utilizando a técnica de integrção apropriada, encontre

∫X²e×dx

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Alexandre · Answer 1 · 2023-02-13T11:13:24-03:00

$oxed{ ullet : sf : x {}^{2} .e {}^{x} - 2 [x.e {}^{x} - e {}^{x} ] + k}$

Explicação

Temos a seguinte integral:

$: : : : : : : : : : : : : : : : : : : sf ullet int x {}^{2} : e {}^{x} dx$

Para encontrar a solução desta integral, vamos utilizar o método da integração por partes, dada pela relação abaixo:

: : : : : : : : oxed{ sf int u.dv = u.v - int v.du}

Onde u é uma função que deve ser derivada e dv uma função a ser integrada, onde a escolha delas vai partir da prioridade

Pela regra LIATE - Funções Logarítmicas, Funções Inversas Trigonométricas, Funções Algébricas, Funções Trigonométricas e Funções Exponenciais, o tipo de função que se encontra mais a esquerda da sigla, deve ser derivada, por conseguinte, quem se encontra mais a direita deve ser integrada.

Analisando as funções que se encontram no integrando, podemos ver que uma é Algébrica e a outra exponencial, seguindo a regra, derivamos a algébrica e integramos a exponencial.

$: : : : : : : : : sf u = x {}^{2} : o : du = 2x.dx sfint dv = int e {}^{x} : dx : : o : : v = e {}^{x}$

Substituindo estes dados na relação da integração por partes, temos:

$: : sfint x^{2} .e {}^{x} : dx = x^{2} .e {}^{x} - int e {}^{x} .2x : dx sfint x {}^{2} .e^{x} : dx = x {}^{2} .e {}^{x} - 2 int e {}^{x}.x : dx$

Note que surgiu outra integral semelhante, ou seja, vamos resolvê-la pelo mesmo método e seguindo os mesmo passos.

$: : : : : : : : : : : sf u = x : : o : : du = dx sf int dv = int e {}^{x} : dx: : o : : v = e {}^{x}$

Substituindo na relação:

$: : : : : : sf int x.e {}^{x} : dx = x.e {}^{x} - underbrace{ int e {}^{x} dx}_{e {}^{x} } sf int x.e {}^{x} : dx = x.e {}^{x} - e {}^{x}$

Substituindo este resultado na integral anterior, onde paramos o cálculo:

$sfint x {}^{2} .e^{x} : dx = x {}^{2} .e {}^{x} - 2 [x.e {}^{x} - e {}^{x} ] + k$

Portanto esta é a resposta.

Espero ter ajudado

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