Use o método dos Coeficientes a Determinar para obter a soluçã...

Rebeca Figueira

- Matérias - Matemática

Use o método dos Coeficientes a Determinar para obter a solução geral da Equação Diferencial y ′′ − 2y ′ + y = x²e^x

1 Resposta

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Joseane Padrão

Resposta:

sf y''-2y'+y=x^2e^x

Como foi visto na questão anterior, sua equação característica, sf lambda^2-2lambda+lambda=0, tem como solução sflambda_{1,2}=1. Por ser duas raízes reais e iguais, a solução homogênea tem a forma:

sf y_h=c_1e^{lambda_1x}+c_2xe^{lambda_2x}

sf y_h=c_1e^{1x}+c_2xe^{1x}

sf y_h=c_1e^x+c_2xe^x

Agora a solução particular tem como forma:

sf y_p=A_2x^4e^x+A_1x^3e^x+A_0x^2e^x

Assim:

sf y_p'=A_2(4x^3e^x+x^4e^x)+A_1(x^3e^x+3x^2e^2)+A_0(x^2e^{x+1}+2xe^{x+1})

sf y_p''=A_2(x^4e^x+8x^3e^x+12x^2e^x)+A_1(x^3e^x+6x^2e^x+6xe^x)+A_0(x^2e^x+4xe^x+2e^x)

E substituindo na equação inicial:

sf y_p''-2y_p'+y_p=x^2e^x

sf A_2(x^4e^x+8x^3e^x+12x^2e^x)+A_1(x^3e^x+6x^2e^x+6xe^x)+A_0(x^2e^x+4xe^x+2e^x) - 2[A_2(4x^3e^x+x^4e^x)+A_1(x^3e^x+3x^2e^2)+A_0(x^2e^{x+1}+2xe^{x+1})]+A_2x^4e^x+A_1x^3e^x+A_0x^2e^x=x^2e^x

sf A_2(x^4e^x+8x^3e^x+12x^2e^x)+A_1(x^3e^x+6x^2e^x+6xe^x)+A_0(x^2e^x+4xe^x+2e^x) - 2A_2(4x^3e^x+x^4e^x)-2A_1(x^3e^x+3x^2e^2)-2A_0(x^2e^{x+1}+2xe^{x+1})+A_2x^4e^x+A_1x^3e^x+A_0x^2e^x=x^2e^x

Simplificando, tem-se:

sf12A_2x^2e^x+6A_1xe^x+2A_0e^x=x^2e^x+0xe^x+0e^x

Dessa forma obtemos os coeficientes:

egin{cases}sf12A_2=1sf6A_1=0sf2A_0=0end{cases}impliesegin{cases}sf A_2=frac{1}{12}sf A_1=0sf A_0=0end{cases}

Assim temos uma solução particular:

sf y_p=frac{1}{12}x^4e^x+0x^3e^x+0x^2e^x

sf y_p=frac{1}{12}x^4e^x+0+0

sf y_p=frac{1}{12}x^4e^x

Por fim, temos a solução geral que é a soma entre a solução homogênea e a solução particular:

sf y=y_h+y_p

ed{oxed{sf y=c_1e^x+c_2xe^x+frac{1}{12}x^4e^x}}

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