Uma loja compra certa mercadoria por 30 reais. A quantidade qu...

Para determinar o intervalo de preço em que a loja não terá prejuízo ao vender o produto, precisamos encontrar a condição onde o lucro é zero ou positivo. Vamos definir:

- \\( x \\) como o preço de venda da mercadoria.
- \\( q = x - 120 \\) como a quantidade de mercadorias vendidas por semana (assumindo \\( x - 120 > 0 \\)).

O custo de compra por unidade é de 30 reais. O lucro total (L) é dado por:

\\[ L = \\text{Receita Total} - \\text{Custo Total} \\]

A receita total é dada por \\( x \\times q \\), onde \\( q = x - 120 \\):

\\[ \\text{Receita Total} = x \\times (x - 120) \\]

O custo total é dado por \\( 30 \\times q \\):

\\[ \\text{Custo Total} = 30 \\times (x - 120) \\]

Assim, o lucro é:

\\[ L = x(x - 120) - 30(x - 120) \\]

\\[ L = x^2 - 120x - 30x + 3600 \\]

\\[ L = x^2 - 150x + 3600 \\]

Para que não haja prejuízo, o lucro deve ser maior ou igual a zero:

\\[ x^2 - 150x + 3600 \\geq 0 \\]

Vamos resolver a inequação quadrática \\( x^2 - 150x + 3600 = 0 \\) para encontrar as raízes:

Usando a fórmula de Bhaskara:

\\[ x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\]

onde \\( a = 1 \\), \\( b = -150 \\), e \\( c = 3600 \\):

\\[ x = \\frac{150 \\pm \\sqrt{(-150)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 3600}}{2 \\cdot 1} \\]

\\[ x = \\frac{150 \\pm \\sqrt{22500 - 14400}}{2} \\]

\\[ x = \\frac{150 \\pm \\sqrt{8100}}{2} \\]

\\[ x = \\frac{150 \\pm 90}{2} \\]

\\[ x = \\frac{150 + 90}{2} \\quad \\text{ou} \\quad x = \\frac{150 - 90}{2} \\]

\\[ x = \\frac{240}{2} \\quad \\text{ou} \\quad x = \\frac{60}{2} \\]

\\[ x = 120 \\quad \\text{ou} \\quad x = 30 \\]

As raízes são \\( x = 30 \\) e \\( x = 120 \\). A inequação quadrática \\( x^2 - 150x + 3600 \\geq 0 \\) se mantém para valores de \\( x \\) fora do intervalo entre as raízes. Portanto, para não ter prejuízo, o preço \\( x \\) deve satisfazer:

\\[ x \\leq 30 \\quad \\text{ou} \\quad x \\geq 120 \\]

Contudo, como estamos falando de um preço de venda, \\( x \\) não pode ser menor que o custo de compra de 30 reais. Portanto, o intervalo viável é:

\\[ x \\geq 120 \\]

Assim, o preço de venda deve ser pelo menos 120 reais para que não haja prejuízo.