Um casal vai ao cardiologista, que recomenda programas de cami...
distintas para cada um deles. A recomendação foi que a esposa iniciasse com 1,5 km e aumentasse sua
caminhada em 300 metros ao dia. Para o esposo, a recomendação foi que iniciasse com 3 km e aumentasse
150 metros ao dia.
Com isso, chegaria o dia em que o casal estaria caminhando a mesma distância diariamente e, a partir daí,
deveriam manter o número de quilômetros caminhados por dia para os demais dias. No 15.º dia, a contar do
início do programa, é correto afirmar que
a) o esposo caminhou 8 km a mais que a esposa, considerando todo o programa de caminhada.
b) a esposa caminhou um total de 54 km desde o início do programa.
c) o esposo caminhou um total de 60 km desde o início do programa.
d) a esposa caminhou 8 km a menos que o esposo, considerando todo o programa de caminhada.
e) o casal estava há 5 dias caminhando juntos.
1 Resposta
Para resolver este problema, vamos calcular a distância diária percorrida tanto pela esposa quanto pelo esposo ao longo dos dias e determinar o dia em que ambos estarão caminhando a mesma distância. Em seguida, verificaremos as afirmações fornecidas.
Cálculo das distâncias diárias:
Esposa:
Dia 1: 1,5 km
Aumento diário: 300 metros (0,3 km)
Distância no dia nnn para a esposa: de(n)=1,5+0,3×(n−1)d_e(n) = 1,5 + 0,3 \\times (n-1)de(n)=1,5+0,3×(n−1)
Esposo:
Dia 1: 3 km
Aumento diário: 150 metros (0,15 km)
Distância no dia nnn para o esposo: do(n)=3+0,15×(n−1)d_o(n) = 3 + 0,15 \\times (n-1)do(n)=3+0,15×(n−1)
Determinação do dia em que caminham a mesma distância:
Encontramos nnn tal que de(n)=do(n)d_e(n) = d_o(n)de(n)=do(n):
1,5+0,3×(n−1)=3+0,15×(n−1)1,5 + 0,3 \\times (n-1) = 3 + 0,15 \\times (n-1)1,5+0,3×(n−1)=3+0,15×(n−1)
Simplificando a equação:
1,5+0,3n−0,3=3+0,15n−0,151,5 + 0,3n - 0,3 = 3 + 0,15n - 0,151,5+0,3n−0,3=3+0,15n−0,15 1,2+0,3n=2,85+0,15n1,2 + 0,3n = 2,85 + 0,15n1,2+0,3n=2,85+0,15n 0,3n−0,15n=2,85−1,20,3n - 0,15n = 2,85 - 1,20,3n−0,15n=2,85−1,2 0,15n=1,650,15n = 1,650,15n=1,65 n=1,650,15=11n = \\frac{1,65}{0,15} = 11n=0,151,65=11
Portanto, no 11º dia, ambos caminham a mesma distância.
Verificação das afirmações:
Acompanhamento até o 15º dia:
Distâncias diárias até o 15º dia:
Esposa:
de(n)=1,5+0,3×(n−1)d_e(n) = 1,5 + 0,3 \\times (n-1)de(n)=1,5+0,3×(n−1) de(15)=1,5+0,3×14=1,5+4,2=5,7 kmd_e(15) = 1,5 + 0,3 \\times 14 = 1,5 + 4,2 = 5,7 \\text{ km}de(15)=1,5+0,3×14=1,5+4,2=5,7 km
Esposo:
do(n)=3+0,15×(n−1)d_o(n) = 3 + 0,15 \\times (n-1)do(n)=3+0,15×(n−1) do(15)=3+0,15×14=3+2,1=5,1 kmd_o(15) = 3 + 0,15 \\times 14 = 3 + 2,1 = 5,1 \\text{ km}do(15)=3+0,15×14=3+2,1=5,1 km
Até o 11º dia, os cálculos de cada dia de caminhada:
Total acumulado até o 11º dia:
Esposa:
Se=∑n=111(1,5+0,3×(n−1))=1,5+1,8+2,1+2,4+2,7+3,0+3,3+3,6+3,9+4,2+4,5=33 kmS_e = \\sum_{n=1}^{11} (1,5 + 0,3 \\times (n-1)) = 1,5 + 1,8 + 2,1 + 2,4 + 2,7 + 3,0 + 3,3 + 3,6 + 3,9 + 4,2 + 4,5 = 33 \\text{ km}Se=n=1∑11(1,5+0,3×(n−1))=1,5+1,8+2,1+2,4+2,7+3,0+3,3+3,6+3,9+4,2+4,5=33 km
Esposo:
So=∑n=111(3+0,15×(n−1))=3+3,15+3,3+3,45+3,6+3,75+3,9+4,05+4,2+4,35+4,5=40,5 kmS_o = \\sum_{n=1}^{11} (3 + 0,15 \\times (n-1)) = 3 + 3,15 + 3,3 + 3,45 + 3,6 + 3,75 + 3,9 + 4,05 + 4,2 + 4,35 + 4,5 = 40,5 \\text{ km}So=n=1∑11(3+0,15×(n−1))=3+3,15+3,3+3,45+3,6+3,75+3,9+4,05+4,2+4,35+4,5=40,5 km
Para os últimos 4 dias (do 12º ao 15º), ambos caminham 5,1 km por dia (a partir do 11º dia).
Total dos últimos 4 dias:
Ambos caminham a mesma distância por 4 dias a 5,1 km por dia: 4×5,1=20,4 km4 \\times 5,1 = 20,4 \\text{ km}4×5,1=20,4 km
Total acumulado até o 15º dia:
Esposa:
33 km+20,4 km=53,4 km33 \\text{ km} + 20,4 \\text{ km} = 53,4 \\text{ km}33 km+20,4 km=53,4 km
Esposo:
40,5 km+20,4 km=60,9 km40,5 \\text{ km} + 20,4 \\text{ km} = 60,9 \\text{ km}40,5 km+20,4 km=60,9 km
Com base nos cálculos:
a) Falso: O esposo caminhou 7,5 km a mais que a esposa (60,9 - 53,4). b) Falso: A esposa caminhou um total de 53,4 km. c) Falso: O esposo caminhou um total de 60,9 km. d) Falso: A esposa caminhou 7,5 km a menos que o esposo. e) Verdadeiro: No 15º dia, o casal estava há 5 dias caminhando juntos (a partir do 11º dia).
Portanto, a resposta correta é: e) o casal estava há 5 dias caminhando juntos.
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