Tenho a resposta, mas não sei desenvolver. ajudem por favor. r...
Tenho a resposta, mas não sei desenvolver. ajudem por favor. r= 3lnx - ln(x+3) + 2ln(x-1) + c
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![int { frac{4 x^{2} -13x-9}{x(x+3)(x-1)} } , dx]()
Usaremos o método das frações parciais. Aconselho dar uma pesquisada, caso ainda não tenha visto.
![frac{4 x^{2} -13x-9}{x(x+3)(x-1)} = frac{A}{x}+ frac{B}{(x+3)} + frac{C}{(x-1)} \ \ = frac{A(x+3)(x-1)+B.x(x-1)+C.x(x+3)}{x(x+3)(x-1)} \ \ = frac{A( x^{2} +2x-3)+B( x^{2} -x)+C( x^{2} +3x)}{x(x+3)(x-1)} \ \= frac{Ax^{2} +2Ax-3A+Bx^{2} -Bx+Cx^{2} +3Cx}{x(x+3)(x-1)} \ \ =frac{(A+B+C)x^{2} +(2A-B+3C)x-3A }{x(x+3)(x-1)}]()
Comparando os dois numeradores das duas frações idênticas, chegaremos em um sistema para encontrar A, B e C:
![4 x^{2} -13x-9=(A+B+C)x^{2} +(2A-B+3C)x-3A \ \ A+B+C = 4 \2A-B+3C=-13 \-3A= -9 \ \ -3A= -9 \ 3A =9 \ A= frac{9}{3} \ A = 3]()
Conhecendo A, podemos resumir ainda mais o sistema para encontrar B e C:
![A+B+C = 4 \2A-B+3C=-13 \ \ 3+B+C = 4 \6-B+3C=-13 \ \B+C = 1 \-B+3C=-19]()
![B+C = 1 \-B+3C=-19 \ \ B = 1-C \ \ -B+3C=-19 \ -(1-C)+3C=-19 \ -1+C+3C=-19\4C = -19+1\4C = -18\C = - frac{18}{4} \ C = - frac{9}{2} \ \ B = 1-C \ B = 1-(- frac{9}{2}) \ B = 1+ frac{9}{2} \ B =frac{11}{2}]()
Então a integral se resume em:
![int { frac{4 x^{2} -13x-9}{x(x+3)(x-1)} } , dx = int {frac{A}{x}+ frac{B}{(x+3)} + frac{C}{(x-1)}} , dx \ \ int { frac{4 x^{2} -13x-9}{x(x+3)(x-1)} } , dx = int {frac{3}{x}+ frac{ frac{11}{2} }{(x+3)} + frac{ -frac{9}{2} }{(x-1)}} , dx \ \ int { frac{4 x^{2} -13x-9}{x(x+3)(x-1)} } , dx = int {frac{3}{x}+ frac{11}{2}.frac{ 1 }{(x+3)} -frac{9}{2}.frac{ 1 }{(x-1)}} , dx]()
Agora fica mais simples calcular:
![int {frac{3}{x}+ frac{11}{2}.frac{ 1 }{(x+3)} -frac{9}{2}.frac{ 1 }{(x-1)}} , dx= int {frac{3}{x}} , dx + int {frac{11}{2}.frac{ 1 }{(x+3)}} , dx - int {frac{9}{2}.frac{ 1 }{(x-1)}}} , dx \ \ = 3.int {frac{1}{x}} , dx + frac{11}{2}.int {frac{ 1 }{(x+3)}} , dx - frac{9}{2}.int {frac{ 1 }{(x-1)}}} , dx \ \ = 3.ln(x) + frac{11}{2}.int {frac{ 1 }{(x+3)}} , dx - frac{9}{2}.int {frac{ 1 }{(x-1)}}} , dx]()
Fazendo as seguintes substituições:
u = x+3
du = dx
v = x-1
dv = dx
![3.ln(x) + frac{11}{2}.int {frac{ 1 }{u}} , du - frac{9}{2}.int {frac{ 1 }{v}}} , dv \ \ 3.ln(x)+frac{11}{2}.ln(u) - frac{9}{2}.ln(v) \ \ 3.ln(x)+frac{11}{2}.ln(x+3) - frac{9}{2}.ln(x-1) + C]()
Portanto,
![oxed{oxed{ int { frac{4 x^{2} -13x-9}{x(x+3)(x-1)} } , dx = 3.ln(x)+frac{11}{2}.ln(x+3) - frac{9}{2}.ln(x-1)+C}}]()
(Por onde consultei a resposta, está correto o que fiz)
Usaremos o método das frações parciais. Aconselho dar uma pesquisada, caso ainda não tenha visto.
Comparando os dois numeradores das duas frações idênticas, chegaremos em um sistema para encontrar A, B e C:
Conhecendo A, podemos resumir ainda mais o sistema para encontrar B e C:
Então a integral se resume em:
Agora fica mais simples calcular:
Fazendo as seguintes substituições:
u = x+3
du = dx
v = x-1
dv = dx
Portanto,
(Por onde consultei a resposta, está correto o que fiz)
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