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Dada uma matriz qualquer (quadrada), para que ela seja simétrica temos que ter ou ainda, para todo i,j.

Vou fazer para um exemplo usando matriz quadrada de ordem 2. Temos:

OBS: Para encontrar a transposta, basta transformar a primeira linha da matriz A na primeira coluna da matriz e continuar fazendo isso para todas as linhas até que termine.

Multiplicando as duas matrizes temos:

Vamos chamar essa matriz de B.

E assim temos que:

Ou seja, a mesma matriz, logo ela é simétrica. Se você fizer a mesma conta para matrizes 3x3, 4x4, você encontrará o mesmo "resultado". Para olhar se uma matriz é simétrica de forma mais fácil, trace a diagonal principal dela, se os elementos acima da diagonal forem exatamente iguais aos de baixo da diagonal, então ela é simétrica.

OUTRA FORMA DE FAZER:

Sabemos que e que . Então:

Ou seja, a transposta da multiplicação de A por sua transposta é ela mesma.