Sejam x e y números reais não nulos tais que: o valor de é: a)...
Sejam x e y números reais não nulos tais que:
o valor de é:
a)
b)
c)
d)
e)
o valor de é:
a)
b)
c)
d)
e)
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![egin{cases} ext{log}_{x}y^{pi}+ ext{log}_{y}x^{e}=adfrac{1}{ ext{log}_{y}x^{pi^{-1}}}-dfrac{1}{ ext{log}_{x}y^{e^{-1}}}end{cases}]()
Vamos simplificar essas equações. Aplicando a propriedade do logaritmo da potência na primeira equação, obtemos:
![ullet~~ etx{log}_{x}y^{pi}=picdot ext{log}_{x}y]()
![ullet~~ ext{log}_{y}x^{e}=ecdot ext{log}_{y}x]()
![ext{log}_{x}y^{pi}+ ext{log}_{y}x^{e}=a~longrightarrow~=picdot ext{log}_{x}y+ecdot ext{log}_{y}x=a]()
Agora a segunda equação. Aplicando essa mesma propriedade:
![ullet~~ etx{log}_{y}x^{pi^{-1}}=pi^{-1}cdot ext{log}_{y}xullet~~ ext{log}_{x}y^{e^{-1}}=e^{-1}cdot ext{log}_{x}y\dfrac{1}{ ext{log}_{y}x^{pi^{-1}}}-dfrac{1}{ ext{log}_{x}y^{e^{-1}}}=b~longrightarrow~dfrac{1}{pi^{-1}cdot ext{log}_{y}x}-dfrac{1}{e^{-1}cdot ext{log}_{x}y}=b]()
Mas![pi^{-1}=dfrac{1}{pi}]()
e ![e^{-1}=dfrac{1}{e}]()
. Substituindo:
![dfrac{1}{pi^{-1}cdot ext{log}_{y}x}-dfrac{1}{e^{-1}cdot ext{log}_{x}y}=b~longrightarrow~dfrac{1}{dfrac{1}{pi}cdot ext{log}_{y}x}-dfrac{1}{dfrac{1}{e}cdot ext{log}_{x}y}=b]()
![dfrac{pi}{ ext{log}_{y}x}-dfrac{e}{ ext{log}_{x}y}=b]()
Fazendo mudança de base, obtemos o seguinte:
![star~~ ext{log}_{y}x=dfrac{ ext{log}_{x}x}{ ext{log}_{x}y}=dfrac{1}{ ext{log}_{x}y}~~~~~~~~~~~star~~ ext{log}_{x}y=dfrac{ ext{log}_{y}y}{ ext{log}_{y}x}=dfrac{1}{ ext{log}_{y}x}]()
![dfrac{pi}{ ext{log}_{y}x}-dfrac{e}{ ext{log}_{x}y}=b~longrightarrow~dfrac{pi}{dfrac{1}{ ext{log}_{x}y}}-dfrac{e}{dfrac{1}{ ext{log}_{y}x}}=b]()
![picdot ext{log}_{x}y-ecdot ext{log}_{y}x=b]()
![egin{cases} ext{log}_{x}y^{pi}+ ext{log}_{y}x^{e}=adfrac{1}{ ext{log}_{y}x^{pi^{-1}}}-dfrac{1}{ ext{log}_{x}y^{e^{-1}}}end{cases}~longrightarrow~egin{cases}picdot ext{log}_{x}y+ecdot ext{log}_{y}x=apicdot ext{log}_{x}y-ecdot ext{log}_{y}x=bend{cases}]()
Somando as equações membro a membro:
![a+b=picdot ext{log}_{x}y+picdot ext{log}_{x}y+ecdot ext{log}_{y}x-ecdot ext{log}_{y}x]()
![a+b=2picdot ext{log}_{x}y]()
Subtraindo a segunda equação da primeira:
![a-b=picdot ext{log}_{x}y-picdot ext{log}_{x}y+ecdot ext{log}_{y}x-(-ecdot ext{log}_{y}x)]()
![a-b=ecdot ext{log}_{y}x+ecdot ext{log}_{y}x]()
![a-b=2ecdot ext{log}_{y}x]()
Vamos determinar![dfrac{x^{a+b+2e}}{y^{a-b+2pi}}]()
:
Primeiro o numerador:
![x^{a+b+2e}=x^{2picdot ext{log}_{x}y+2e}=(x^{ ext{log}_{x}y})^{2pi}}cdot x^{2e}=y^{2pi}cdot x^{2e}]()
Lembre-se que![x^{ ext{log}_{x}y}=y]()
e ![y^{ ext{log}_{y}x}=x]()
Agora o denominador:
![y^{a-b+2pi}=y^{2ecdot ext{log}_{y}x+2pi}=(y^{ ext{log}_{y}x})^{2e}}cdot y^{2pi}=x^{2e}cdot y^{2pi}]()
Logo:
![dfrac{x^{a+b+2e}}{y^{a-b+2pi}}=dfrac{y^{2pi}cdot x^{2e}}{x^{2e}cdot y^{2pi}}=1]()
![ext{Alternativa A}]()
Vamos simplificar essas equações. Aplicando a propriedade do logaritmo da potência na primeira equação, obtemos:
Agora a segunda equação. Aplicando essa mesma propriedade:
Mas
e 
. Substituindo:
Fazendo mudança de base, obtemos o seguinte:
Somando as equações membro a membro:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Vamos determinar
:Primeiro o numerador:
Lembre-se que
e 
Agora o denominador:
Logo:
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