Seja S={(x, y,z)∈R^3; x+y=z} (A) Mostre que S é um subespaço v...

Explicação passo-a-passo:

O espaço S é caracterizado por ter sua terceira componente igual a soma das duas primeiras.

Para que S seja um subspaço vetorial de R³ a soma de quaisquer dois vetores de S deve pertencer a S e o produto de um escalar real λ com um vetor de S deve pertencer a S.

Sejam u = (x1, y1, x1 + y1) ∈ S e v = (x2, y2, x2 + y2) ∈ S

u + v = (x1 + x2, y1 + y2, x1 + y1 + x2 + y2) ∈ S

Talvez possa parecer que não, mas se colocar-mos assim ficara mas claro.

u + v = (x1 + x2, y1 + y2, (x1 + y1) + (x2 + y2)) ∈ S, a terceira componente é igual a soma das duas primeiras.

Seja λ ∈ R

λ.u = (λx1, λx2, λ(x1 + x2) = (λx1, λx2, λx1 + λx2) ∈ S, pois a terceira componente é igual a soma das duas primeiras componentes.

Logo S é subspaço se R³