Seja f(x)=ln(x2+7/ βx+7) . Ache β ∈ R de modo que f′(1) =2/9 .

Question

Seja f(x)=ln(x2+7/ βx+7) . Ache β ∈ R de modo que f′(1) =2/9 .

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Malu Negrete

há 2 anos - Matérias - Matemática

Seja f(x)=ln(x2+7/ βx+7) . Ache β ∈ R de modo que f′(1) =2/9 .

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Joaquim Reis · Answer 1 · 2022-04-14T11:14:21-03:00

Resposta:

$sf f(x)=lnigg(dfrac{x^2+7}{eta x+7}igg)$

$sf f'(x)=dfrac{d}{dx}lnigg(dfrac{x^2+7}{eta x+7}igg)$

Aplicando a regra da cadeia: dy/dx = dy/du . du/dx, faça u = (x² + 7)/(βx + 7):

$sf f'(x)=dfrac{d}{du}ln(u)cdotdfrac{d}{dx}u$

$sf f'(x)=dfrac{1}{u}cdotdfrac{d}{dx}u$

$sf f'(x)=dfrac{1}{frac{x^2:+:7}{eta x:+:7}}cdotdfrac{d}{dx}igg(dfrac{x^2+7}{eta x+7}igg)$

$sf f'(x)=dfrac{eta x+7}{x^2+7}cdotdfrac{d}{dx}igg(dfrac{x^2+7}{eta x+7}igg)$

Regra do quociente: d/dx(f/g) = (df/dx . g - dg/dx . f)/g²

$sf f'(x)=dfrac{eta x+7}{x^2+7}cdotdfrac{frac{d}{dx}(x^2+7)cdot(eta x+7)-frac{d}{dx}(eta x+7)cdot(x^2+7)}{(eta x+7)^2}$

$sf f'(x)=dfrac{eta x+7}{x^2+7}cdotdfrac{(frac{d}{dx}x^2+frac{d}{dx}7)cdot(eta x+7)-(frac{d}{dx}eta x+frac{d}{dx}7)cdot(x^2+7)}{(eta x+7)^2}$

$sf f'(x)=dfrac{eta x+7}{x^2+7}cdotdfrac{(2x+0)cdot(eta x+7)-(eta+0)cdot(x^2+7)}{(eta x+7)^2}$

$sf f'(x)=dfrac{eta x+7}{x^2+7}cdotdfrac{2x(eta x+7)-eta(x^2+7)}{(eta x+7)^2}$

$sf f'(x)=dfrac{eta x+7}{x^2+7}cdotdfrac{2eta x^2+14x-eta x^2-7eta)}{(eta x+7)^2}$

$sf f'(x)=dfrac{(eta x+7)(2eta x^2+14x-eta x^2-7eta)}{(x^2+7)(eta x+7)^2}$

Dado que f'(1) = 2/9:

$sf f'(1)=dfrac{(eta cdot1+7)(2eta cdot1^2+14cdot1-eta cdot1^2-7eta)}{(1^2+7)(eta cdot1+7)^2}=dfrac{2}{9}$

$sf dfrac{(eta+7)(2eta cdot1+14-eta cdot1-7eta)}{(1+7)(eta +7)^2}=dfrac{2}{9}$

$sf dfrac{(eta+7)(2eta+14-eta-7eta)}{8(eta +7)^2}=dfrac{2}{9}$

$sf dfrac{(eta+7)(14-6eta)}{8(eta +7)^2}=dfrac{2}{9}$

$sf dfrac{2(eta+7)(7-3eta)}{8(eta +7)^2}=dfrac{2}{9}$

$sf dfrac{7-3eta}{4(eta +7)}=dfrac{2}{9}$

$sf dfrac{7-3eta}{4eta +28}=dfrac{2}{9}$

sf (4eta +28)cdot2=(7-3eta)cdot9

sf 8eta +56=63-27eta

sf 8eta+27eta=63-56

sf 35eta=7

$sf eta=dfrac{7}{35}$

$ed{oxed{sf eta=dfrac{1}{5}}}$

Seja f(x)=ln(x2+7/ βx+7) . Ache β ∈ R de modo que f′(1) =2/9 .

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