Seja abc um triângulo equilátero. a) mostre mediante o cálculo...
a) mostre mediante o cálculo de áreas, que as três alturas de abc tem o mesmo comprimento.
b) prove que a soma das distâncias de um ponto qualquer no interior de abc a seus lados, independe da posição do ponto, e é igual ao comprimento das alturas de abc.
1 Resposta
A área de um triângulo é dada pelo produto entre a base e a altura relativa a essa base dividido por 2, dessa forma, temos que em um triângulo equilátero de lado L e altura h, esta altura divide o mesmo em dois triângulos retângulos, onde os catetos são h e L/2, e a hipotenusa igual a L, logo:
L² = (L/2)² + h²
h² = L² - L²/4
h² = 3.L²/4
h = L.√3/2
Sendo S a área do triângulo, temos que:
S = L.h/2
Como o triângulo é o mesmo e todas as bases medem L, sabemos que h deve ser o mesmo para que S seja igual em todos os casos.
b) Seja P um ponto qualquer do triângulo, podemos dividir este triângulo em três triângulos menores T1, T2, T3, cada um com suas respectivas alturas h1, h2 e h3 e suas bases serão sempre igual a L. Sabemos que a soma das áreas destes triângulos é igual a área do triângulo ABC, logo:
L.h/2 = L.h1/2 + L.h2/2 + L.h3/2
(L/2).h = L.(h1 + h2 + h3)/2
h = h1 + h2 + h3
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