Se a e b são números positivos, mostre que √ab ≤ 1/2 (a + b).

O exercício solicita a demonstração de um caso particular (quando temos apenas dois números reais positivos) da desigualdade existente entre a Média Aritmética Simples e a Média Geométrica Simples de números reais positivos quaisquer. Matematicamente, o referido caso é expresso por:

Lembre-se que o próprio enunciado informa-nos sobre o fato de a e b serem maiores que zero (positivos), sendo assim, para provar a validade da desigualdade (i) deve-se partir do resultado:

A partir de (ii), segue a primeira parte da demonstração de (i):

Vimos que a e b são números reais positivos, o que acarreta |a| + |b| = a + b. Assim sendo, a expressão equivalente à desigualdade (iii) (indicada por (iv)), para a e b positivos, e também a segunda parte (final) da demonstração acima, encontram-se logo abaixo:

Luiz, um grande abraço!