Qual o valor de [(1+i)^40 + (1+i)^42]: i^48 2^20?

Vamos lá.

Veja, Nathan, que a resolução é simples, após você informar como está escrito o denominador da expressão dada. Então teremos a seguinte expressão complexa, que vamos chamá-la de um certo "z", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

z = [(1+i)⁴⁰ + (1+i)⁴²] / [i⁴⁸ * 2²⁰] note que poderemos reescrever esta expressão da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

z = [((1+i)²)²⁰ + ((1+i)²)²¹] / [i⁴⁸ * 2²⁰]

Agora veja isto e não esqueça mais:

(1+i)² = 2i e (1-i)² = -2i. Como, no caso da sua questão, temos dois fatores indicando que temos (1+i)², então substituiremos elas duas por "2i". Assim, fazendo essas substituições, teremos isto:

z = [(2i)²⁰ + (2i)²¹] / [i⁴⁸ * 2²⁰] note que, na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto. Então poderemos reescrever o denominador da seguinte forma:

z = [(2i)²⁰ + (2i)²¹] / [2²⁰ * i⁴⁸] desenvolvendo as potências, teremos isto:
z = [2²⁰ * i²⁰ + 2²¹ * i²¹] / [2²⁰ * i⁴⁸] agora note que 2²¹ = 2²⁰ * 2¹ = 2²⁰ * 2. Assim, iremos ficar da seguinte forma:

z = [2²⁰ * i²⁰ + 2²⁰ * 2 * i²¹] / [2²⁰ * i⁴⁸] veja que, no numerador, poderemos colocar 2²⁰ em evidência, com o que ficaremos assim:

z = 2²⁰*[i²⁰ + 2*i²¹] / [2²⁰ * i⁴⁸] dividindo-se "2²⁰" do numerador com "2²⁰" do denominador, vamos ficar apenas com:

z = [i²⁰ + 2 * i²¹] / i⁴⁸

Agora veja mais isto e nunca mais esqueça: as potências de "i" variam em ciclos de 4 em 4, terminando sendo uma destas:

i⁰ = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = -i.

Assim, se o "i" estiver elevado a um expoente maior do que "4", então basta você dividir esse expoente por "4" e observar qual é o resto. Então será esse resto que você vai utilizar como o expoente do "i".
Veja que temos as seguintes potências de "i" na expressão acima:

i²⁰. Divide-se 20 por 4. Encontramos quociente 5 e resto "0". Logo, i²⁰ = i⁰ = 1.
i²¹. Divide-se 21 por 4. Encontramos quociente 5 e resto "1". Logo, i²¹ = i¹ = i
i⁴⁸. Divide-se 48 por 4. Encontramos quociente 12 e resto "0". Logo, i⁴⁸ = i⁰ = 1.

Desse modo, faremos as devidas substituições na nossa expressão "z" acima, com o que ficaremos da seguinte forma (veja: substituiremos i²⁰ por "1"; substituiremos i²¹ por "i"; e finalmente substituiremos i⁴⁸ por "1"):

z = [1 + 2*i]/1 ou o que é a mesma coisa:
z = (1+2i)/1 como qualquer coisa sobre "1" é essa qualquer coisa, então:

z = 1 + 2i <--- Pronto. Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.​