Qual a posição relativa entre e reta e a circunferencia defini...

Vamos lá.

Veja que é simples a resolução (embora um pouco trabalhosa).
Pede-se a posição relativa entre a reta e a circunferência definidas pelas seguintes equações:

reta "r": ---> x + y + 3 = 0
circunferência "λ": x² + y² - 4x- 2y - 13 = 0.

Veja: primeiro vamos deixar a circunferência "λ" na sua forma reduzida, pois quando fazemos isso dá pra saber qual é o seu raio.
Antes veja que uma circunferência que tenha centro em C(x₀; y₀) e raio = r, terá a seguinte equação reduzida:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²      . (I) <--- Vamos guardar esta fórmula, pois vamos precisar dela daqui a pouco.

i) Agora vamos transformar a equação geral da circunferência na sua forma reduzida. A equação geral é esta (é a que foi dada):

x² + y² - 4x- 2y - 13 = 0 --- vamos ordenar, ficando:
x² - 4x + y² - 2y - 13 = 0

Agora vamos formar os quadrados, tendo o cuidado de subtrair aqueles valores que forem acrescidos em função da formação dos quadrados. Assim:

(x-2)² - 4 + (y-1)² - 1 - 13 = 0 ordenando, ficaremos assim:
(x-2)² + (y-1)² - 4 - 1 - 13 = 0 reduzindo os termos semelhantes:
(x-2)² + (y-1)² - 18 = 0 passando "-18" para o 2º membro, teremos:
(x-2)² + (y-1)² = 18 veja que 18 poderá ser substituído por [√(18)]². Assim:
(x-2)² + (y-1)² = [√(18)]²  .

Agora compare a equação reduzida que acabamos de encontrar aí em cima com a equação reduzida que deixamos lá na expressão (I).
Pela comparação, você já deverá ter concluído que a circunferência da sua questão tem centro em C(2; 1) e raio = √(18) ---> (note que √(18) é igual a mais ou menos "4,24" unidades de medida).

ii) Bem, como já sabemos que o raio da circunferência é "4,24" u.m. (aproximadamente),  vamos calcular a distância (d) do centro da circunferência [C(1; 2)] à reta "r", de equação: x+y+3 = 0.

Antes veja que a distância (d) de um ponto C(x₀; y₀) a uma reta de equação:
Ax + By + C = 0, é obtida da seguinte forma:

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A²+B²)

Veja que já temos os seguintes dados para substituir na fórmula acima:

A = 1 (é o coeficiente de "x" na reta).
B = 1 (é o coeficiente de "y" na reta)
C = 3 (é o termo independente na reta)
x₀ = 1 (é a abscissa do centro da circunferência)
y₀ = 2 (é a ordenada do centro da circunferência)

Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

d = |1*1 + 1*2 + 3| / √(1²+1²)
d = |1 + 2 + 3| / √(1+1)
d = | 6 | / √(2) veja que | 6 | = 6. Assim:
d = 6 / √(2) vamos apenas racionalizar. Para isso, multiplicaremos numerador e denominador por √(2), ficando:

d = 6*√(2) / √(2)*√(2)
d = 6√(2) / 2 --- dividindo-se numerador e denominador por "2", ficaremos apenas com:

d = 3√(2) < o que dá, aproximadamente, "4,24" u.m.

iii) Assim, como a distância do centro da circunferência até a reta dada há uma distância exatamente igual ao raio, então é porque esta reta é tangente à circunferência.

Note que temos as seguintes situações:

iii.a) se d = r (distância igual ao raio), então a reta é tangente à circunferência (que é o caso da sua questão)

iii.b) se d < r (distância menor que o raio), então a reta é secante à circunferência (ou seja, passa por dentro da circunferência).

iii.c) se d > r (distância maior que o raio), então a reta é exterior à circunferência.

iv) Assim, como no caso, a distância deu exatamente igual ao raio, então é porque a posição relativa da reta "r" em relação à circunferência é:

tangente à circunferência <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.  ​