O coeficiente de x8 no desenvolvimento de (3/x+x3)8 é?

YasminAzevedo Ohana

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O coeficiente de x8 no desenvolvimento de (3/x+x3)8 é?

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justforthebois123

⇒     Aplicando nossos conhecimentso sobre Binômio de Newton, concluímos que o coeficiente do termo  x^8  no desenvolvimento de  (3/x+x^3)^8  é  5670 .

☛     Binômio de Newton:

largeoxed{( p+q)^{n} =sum _{r=0}^{n}inom{n}{r} cdotp p^{n-r} cdotp q^{r}}

➜     Na sua questão, temos  p=3/x=3x^{-1} ,  q=x^3  e  n=8 . Assim, inserindo os dados na fórmula do Binômio de Newton:

displaystyleleft( 3x^{-1} +x^{3} ight)^{8} =sum _{r=0}^{8}inom{8}{r} cdotp left( 3x^{-1} ight)^{8-r} cdotp left( x^{3} ight)^{r}

➜     Use a propriedade  ( ab)^{c} =a^{c} b^{c}  no termo  (3x^{-1})^{8-r}

displaystyleleft( 3x^{-1} +x^{3} ight)^{8} =sum _{r=0}^{8}inom{8}{r} cdotp 3^{8-r} cdot left(x^{-1} ight)^{8-r} cdotp left( x^{3} ight)^{r}

➜     Use a propriedade  left( a^{m} ight)^{n} =a^{mn}  nos termos  left(x^{-1} ight)^{8-r}  e  left( x^{3} ight)^{r}

displaystyleleft( 3x^{-1} +x^{3} ight)^{8} =sum _{r=0}^{8}inom{8}{r} cdotp 3^{8-r} cdotp x^{r-8} cdotp x^{3r}

➜     Use a propriedade  a^{m} +a^{n} =a^{m+n}  nos termos  x^{r-8}  e  x^{3r}

displaystyleleft( 3x^{-1} +x^{3} ight)^{8} =sum _{r=0}^{8}inom{8}{r} cdotp 3^{8-r} cdotp x^{4r-8}

➜     Agora, para  x^{4r-8}=x^8 , temos  r=4 . E para  r=4 , obtemos

egin{array}{l}inom{8}{4} cdotp 3^{8-4} cdotp x^{4cdotp 4-8} =dfrac{8cdotp 7cdotp 6cdotp 5cdotp cancel{4!}}{cancel{4!} cdotp 4cdotp 3cdotp 2cdotp 1} cdotp 3^{4} cdotp x^{8}\\=70cdotp 3^{4} x^{8}\\=5670x^{8}end{array}

∴     O coeficiente do termo  x^8  no desenvolvimento de  (3/x+x^3)^8  é  5670   ✍️

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