Numa escola foi realizada uma pesquisa sobre a preferência de...

Essa é uma questão que tem que ser resolvida por diagrama de Euler-Venn.

Vou tentar ser o mais claro possível sem o diagrama.

Nessa situação, nós temos quatro casos:

Os que não optam por nenhum: 84

Os que optam por vôlei: 210

Os que optam por futebol: 275

Os que optam pelos dois: Como ele não deu essa informação, vou chamar de X

A soma de todas essas pessoas tem que dar 420, que é o número total de alunos. Porém, note que se eu opto pelos dois, eu opto por futebol e opto por vôlei, portanto, vou ser contabilizado mais vezes. Por isso, é necessário que seja feita a subtração do Número dos que optam por um ou por outro do número dos que optam pelos dois, ficando desta maneira:

Os que não optam por nenhum: 84

Os que optam por vôlei: 210-x

Os que optam por futebol: 275-x

Os que optam pelos dois: x

E aí, é só somar e igualar ao número total de alunos, no caso, 420.

84 + 210 - x + 275 - x + x = 420

569 - x = 420

-x = 420 - 569

x = 149

Agora, sabendo o valor de x, podemos descobrir o número de pessoas que optam por cada um dos esportes:

Os que não optam por nenhum: 84

Os que optam por vôlei: 210 - 149 = 61

Os que optam por futebol: 275 - 149 = 126

Os que optam pelos dois: 149

Agora, vamos para as perguntas em si:

a) Probabilidade de um aluno que optou por ambos os esportes:

Vai ser o número de pessoas que optaram por ambos os esportes, no caso, 149, dividido pelo total de pessoas, no caso, 420. Portanto, tem se que:

b) Probabilidade de um aluno que optou apenas por vôlei:

O mesmo raciocínio da anterior. O número de alunos que optaram por vôlei, sobre o total de alunos:

Como ambas frações são irredutíveis, pode deixar assim mesmo.

Explicação passo-a-passo: