Na figura, os pontos A(1, 2), B(5, 4) e C(2, 7) são vértices...

As alternativas 1, 2 e 3 estão corretas.

Vamos analisar cada alternativa.

a) As diagonais AC e BD se interceptam no ponto médio.

Sendo A = (1,2) e C = (2,7), temos que M é:

2M = (1,2) + (2,7)

2M = (1 + 2, 2 + 7)

2M = (3,9)

M = (3/2,9/2).

Então, temos que o ponto D é:

2M = B + D

(3,9) = (5,4) + D

D = (3,9) - (5,4)

D = (3 - 5, 9 - 4)

D = (-2,5).

A alternativa está correta.

b) Utilizando a fórmula da distância entre dois pontos, temos que:

d² = (5 - 1)² + (4 - 2)²

d² = 4² + 2²

d² = 16 + 4

d² = 20

d = 2√5.

A alternativa está correta.

c) Os vetores BA e BC são iguais a:

BA = (1,2) - (5,4)

BA = (1 - 5, 2 - 4)

BA = (-4,-2)

e

BC = (2,7) - (5,4)

BC = (2 - 5, 7 - 4)

BC = (-3,3).

Calculando o determinante da matriz , obtemos:

d = (-4).3 - (-3).(-2)

d = -12 - 6

d = -18.

Portanto, a área do paralelogramo é |-18| = 18.

A alternativa está correta.

d) Observe que:

d(A,C) ² = (2 - 1)² + (7 - 2)²

d(A,C)² = 1² + 5²

d(A,C)² = 1 + 25

d(A,C) = √26

e

d(B,D)² = (-2 - 5)² + (5 - 4)²

d(B,D)² = (-7)² + 1²

d(B,D)² = 49 + 1

d(B,D) = √50.

A alternativa está errada.

e) O paralelogramo ABCD não é um losango, porque os quatro lados não possuem a mesma medida.

A alternativa está errada.