Lim = cos (x)-1/x x -> 0 alguem me ajuda pfv!
lelerj
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Lim = cos (x)-1/x
x -> 0
alguem me ajuda pfv!
x -> 0
alguem me ajuda pfv!
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Note que esse limite é a definição da derivada de f(x) = cos(x) no ponto x = 1, já que
![f(x)=cos(x)~~
ightarrow~~f(0)=cos(0)=1]()
e
![f'(0)=limlimits_{x
ightarrow0}dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=limlimits_{x
ightarrow0}dfrac{cos(x)-1}{x}\\\limlimits_{x
ightarrow0}dfrac{cos(x)-1}{x}=leftdfrac{d}{dx}cos(x)
ight|_{x=0}\\\limlimits_{x
ightarrow0}dfrac{cos(x)-1}{x}=-sen(0)\\\oxed{oxed{limlimits_{x
ightarrow0}dfrac{cos(x)-1}{x}=0}}]()
______________________________
Também podemos resolver esse limite sem noção de derivadas:
![limlimits_{x
ightarrow0}dfrac{cos(x)-1}{x}=limlimits_{x
ightarrow0}dfrac{(cos~x-1)cdot(cos~x+1)}{xcdot(cos~x+1)}\\\limlimits_{x
ightarrow0}dfrac{cos(x)-1}{x}=limlimits_{x
ightarrow0}dfrac{(cos~x)^{2}-1^{2}}{x(cos~x+1)}\\\limlimits_{x
ightarrow0}dfrac{cos(x)-1}{x}=limlimits_{x
ightarrow0}dfrac{cos^{2}x-1}{x(cos~x+1)}\\\limlimits_{x
ightarrow0}dfrac{cos(x)-1}{x}=limlimits_{x
ightarrow0}dfrac{-(1-cos^{2}x)}{x(cos~x+1)}]()
Como 1 - cos²x = sen²x (Relação fundamental da trigonometria):
![limlimits_{x
ightarrow0}dfrac{cos(x)-1}{x}=limlimits_{x
ightarrow0}-dfrac{sen^{2}x}{x(cos~x+1)}\\\limlimits_{x
ightarrow0}dfrac{cos(x)-1}{x}=limlimits_{x
ightarrow0}dfrac{sen~x}{x}cdotdfrac{(-sen~x)}{cos~x+1}]()
Como os dois limites existem (já que o primeiro é o limite fundamental e o segundo não chega em indeterminação quando substituimos x por 0), vale
![limlimits_{x
ightarrow0}dfrac{cos(x)-1}{x}=limlimits_{x
ightarrow0}dfrac{sen~x}{x}cdotlimlimits_{x
ightarrow0}dfrac{-sen~x}{cos~x+1}\\\limlimits_{x
ightarrow0}dfrac{cos(x)-1}{x}=1cdotdfrac{0}{0+1}\\\limlimits_{x
ightarrow0}dfrac{cos(x)-1}{x}=1cdot0\\\oxed{oxed{limlimits_{x
ightarrow0}dfrac{cos(x)-1}{x}=0}}]()
______________________________
Também poderíamos resolver rapidamente pela Regra de L'Hospital:
![limlimits_{x
ightarrow0}dfrac{cos(x)-1}{x}]()
Se fizermos substituição, chegaremos numa indeterminação do tipo 0/0. Portanto, podemos usar a regra de L'Hospital
![limlimits_{x
ightarrow0}dfrac{cos(x)-1}{x}=limlimits_{x
ightarrow0}dfrac{frac{d}{dx}(cos~x-1)}{frac{d}{dx}x}\\\limlimits_{x
ightarrow0}dfrac{cos(x)-1}{x}=limlimits_{x
ightarrow0}dfrac{-sen~x}{1}\\\limlimits_{x
ightarrow0}dfrac{cos(x)-1}{x}=-sen(0)\\\oxed{oxed{limlimits_{x
ightarrow0}dfrac{cos(x)-1}{x}=0}}]()
e
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Também podemos resolver esse limite sem noção de derivadas:
Como 1 - cos²x = sen²x (Relação fundamental da trigonometria):
Como os dois limites existem (já que o primeiro é o limite fundamental e o segundo não chega em indeterminação quando substituimos x por 0), vale
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Também poderíamos resolver rapidamente pela Regra de L'Hospital:
Se fizermos substituição, chegaremos numa indeterminação do tipo 0/0. Portanto, podemos usar a regra de L'Hospital
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