Lim ³√(3x+5) -2/(x²-1) quando x --> 1; não consegui resolve...
Lim ³√(3x+5) -2/(x²-1) quando x --> 1; não consegui resolver usando produtos notáveis para diferença de cubos.
1 Resposta
Ver resposta
Caso esteja pelo app, e tenha problemas para visualizar esta resposta, experimente abrir pelo navegador:
——————————
Calcular o limite
![L=limlimits_{x o 1}dfrac{^3!!!sqrt{3x+5}-2}{x^2-1}]()
Faça uma mudança de variável:
![^3!!!sqrt{3x+5}=u\\ 3x+5=u^3\\ 3x=u^3-5\\ x=dfrac{u^3-5}{3}]()
Quando![x o 1]()
,
![u o ,^3!!!sqrt{3cdot 1+5}\\ u o ,^3!!!sqrt{3+5}\\ u o ,^3!!!sqrt{8}\\ u o 2]()
de modo que o limite fica
![L=displaystylelim_{u o 2}dfrac{u-2}{left(frac{u^3-5}{3}
ight)^{!2}-1}\\\ =lim_{u o 2}dfrac{u-2}{frac{(u^3-5)^2}{9}-1}]()
Multiplique o numerador e o denominador por 9 para simplificar:
![=displaystylelim_{u o 2}dfrac{(u-2)cdot 9}{left[frac{(u^3-5)^2}{9}-1
ight]cdot 9}\\\ =lim_{u o 2}dfrac{(u-2)cdot 9}{(u^3-5)^2-9}\\\ =lim_{u o 2}dfrac{(u-2)cdot 9}{(u^3-5)^2-3^2}]()
Fatore a diferença de quadrados que aparece no denominador (produtos notáveis):
• p² – q² = (p – q) · (p + q)
onde p = u³ – 5 e q = 3. Então, o limite fica
![=displaystylelim_{u o 2}dfrac{(u-2)cdot 9}{ig[(u^3-5)-3ig]cdot ig[(u^3-5)+3ig]}\\\ =lim_{u o 2}dfrac{(u-2)cdot 9}{(u^3-8)cdot (u^3-2)}\\\ =lim_{u o 2}dfrac{(u-2)cdot 9}{(u^3-2^3)cdot (u^3-2)}]()
Fatore a diferença entre dois cubos que aparece no denominador (produtos notáveis):
• p³ – q³ = (p – q) · (p² + pq + q²)
onde p = u e q = 2. Dessa forma, o limite fica
![=displaystylelim_{u o 2}dfrac{(u-2)cdot 9}{(u-2)cdot (u^2+ucdot 2+2^2)cdot (u^3-2)}\\\ =lim_{u o 2}dfrac{(u-2)cdot 9}{(u-2)cdot (u^2+2u+4)cdot (u^3-2)}]()
Simplifique o fator comum (u – 2) que aparece no numerador e no denominador:
![=limlimits_{u o 2}dfrac{9}{(u^2+2u+4)cdot (u^3-2)}\\\ =dfrac{9}{(2^2+2cdot 2+4)cdot (2^3-2)}\\\ =dfrac{9}{(4+4+4)cdot (8-2)}\\\ =dfrac{9}{12cdot 6}\\\ =dfrac{9}{72}egin{array}{c}^{div{9}}\^{div{9}} end{array}]()
![=dfrac{1}{8}]()
<——— esta é a resposta.
Bons estudos! :-)
——————————
Calcular o limite
Faça uma mudança de variável:
Quando
,
de modo que o limite fica
Multiplique o numerador e o denominador por 9 para simplificar:
![=displaystylelim_{u o 2}dfrac{(u-2)cdot 9}{left[frac{(u^3-5)^2}{9}-1
ight]cdot 9}\\\ =lim_{u o 2}dfrac{(u-2)cdot 9}{(u^3-5)^2-9}\\\ =lim_{u o 2}dfrac{(u-2)cdot 9}{(u^3-5)^2-3^2}](/image/1111/6166/03adb.png)
Fatore a diferença de quadrados que aparece no denominador (produtos notáveis):
• p² – q² = (p – q) · (p + q)
onde p = u³ – 5 e q = 3. Então, o limite fica
![=displaystylelim_{u o 2}dfrac{(u-2)cdot 9}{ig[(u^3-5)-3ig]cdot ig[(u^3-5)+3ig]}\\\ =lim_{u o 2}dfrac{(u-2)cdot 9}{(u^3-8)cdot (u^3-2)}\\\ =lim_{u o 2}dfrac{(u-2)cdot 9}{(u^3-2^3)cdot (u^3-2)}](/image/1111/6166/a1e3b.png)
Fatore a diferença entre dois cubos que aparece no denominador (produtos notáveis):
• p³ – q³ = (p – q) · (p² + pq + q²)
onde p = u e q = 2. Dessa forma, o limite fica
Simplifique o fator comum (u – 2) que aparece no numerador e no denominador:
<——— esta é a resposta.Bons estudos! :-)
Sua resposta
Mais perguntas de Matemática
Top Semanal
Top Perguntas
Você tem alguma dúvida?
Faça sua pergunta e receba a resposta de outros estudantes.
