(ita) de um ponto de uma esfera de raio r são traçadas três co...
(ita) de um ponto de uma esfera de raio r são traçadas três cordas iguais que formam um ângulo α duas a duas. determine o comprimento de cada corda.
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Denotando-se O o centro da esfera e AS, BS e CS cordas iguais de medida d. Como S e O equidistam de A, B e C, temos que SO é perpendicular ao plano definido por ABC (aconselho fortemente que em questões desse tipo seja realizado o desenho). Seja P a interseção de SO com o plano ABC. É sabido que P é o circuncentro do triângulo ABC (que é equilátero, claramente).
No triângulo SAB, temos que![AB = 2dsen frac{ alpha }{2}]()
.
Além disso, temos![PA = AB* frac{ sqrt{3} }{3} = frac{2}{3} sqrt{3} dsen frac{ alpha }{2}]()
. (![frac{2}{3}]()
da altura do triângulo equilátero).
Por esse motivo, a área do triângulo OAS é igual a![frac{1}{2} *R*PA = frac{R }{ 3 } sqrt{3} dsen frac{ alpha }{2} .]()
Por outro lado, como o triângulo OAS é isósceles de lados OS = OA = R e AS = d, sua área é dada por![frac{1}{2} d sqrt{ R^{2}- frac{ d^{2} }{4} }]()
(basta traçar a altura relativa a AS).
Igualando as duas expressões para a área OAS, temos que![frac{R}{3} sqrt{3} dsen frac{ alpha }{2} = frac{1}{2} d sqrt{ R^{2}- frac{ d^{2} }{4} }]()
, o que nos dá ![d = 2R sqrt{1- frac{4}{3} sen^{2} frac{ alpha }{2} }]()
Espero ter ajudado.
No triângulo SAB, temos que
.Além disso, temos
. (
da altura do triângulo equilátero).Por esse motivo, a área do triângulo OAS é igual a
Por outro lado, como o triângulo OAS é isósceles de lados OS = OA = R e AS = d, sua área é dada por
(basta traçar a altura relativa a AS).Igualando as duas expressões para a área OAS, temos que
, o que nos dá 
Espero ter ajudado.
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