Integrais indefinidas(x2+2)(x+4)dx

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FerSilva

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Integrais indefinidas

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Elen · Answer 1 · 2021-12-01T09:55:33-03:00

Pelo enunciado, eu creio que a integral seja dada por:

$sf int[(x {}^{2} + 2).(x + 4)]dx \$

Primeiro vamos realizar o produto dessas expressões:

$sf (x {}^{2} + 2).(x + 4) = sf \ sf x {}^{2} .x + x {}^{2} .4 + 2.x + 2.4 = \ sf : : igstar : x {}^{3} + 4x {}^{2} + 2x + 8 : : igstar$

Substituindo essa nova expressão no seu devido local:

$sf int (x {}^{3} + 4 {x}^{2} + 2x + 8 )dx \$

Vamos usar a seguinte propriedade de integral:

$sf int [f(x) + g(x)]dx = int f(x)dx + int g(x)dx \$

Essa propriedade serve para várias funções sendo somadas, como é o nosso caso, usando essa propriedade vamos ficar com:

$sf int (x {}^{3} + 4 {x}^{2} + 2x + 8 )dx = int x {}^{3} dx + int 4x {}^{2} dx + int 2xdx + int 8dx \$

Em cada uma dessas integrais usaremos a integral imediata dada por:

$igstar : : sf int u {}^{n} du = frac{u {}^{n + 1} }{n + 1} : : igstar\$

Aplicando:

$sf int x {}^{3} dx + int 4x {}^{2} dx + int 2xdx + int 8dx = \ \ sf frac{x {}^{3 + 1} }{3 + 1} + 4. frac{x {}^{2 + 1} }{2 + 1} + frac{2x {}^{1 + 1} }{1 + 1} + frac{8x {}^{0 + 1} }{0 + 1} = \ \ sf frac{x {}^{4} }{4} + frac{4x {}^{3} }{3} + frac{2x {}^{2} }{2} + frac{8x}{1} = \ \ sf frac{x {}^{4} }{4} + frac{4x {}^{3} }{3} + x {}^{2} + 8x + C$

Por fim concluímos que:

$oxed{ sf int[(x {}^{2} + 2).(x + 4)]dx = frac{x {}^{4} }{4} + frac{4x {}^{3} }{3} + x {}^{2} + 8x +C }$

Espero ter ajudado.

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