Helena tem três caixas com 10 bolas em cada uma. as bolas dent...
Helena tem três caixas com 10 bolas em cada uma. as bolas dentro de uma mesma moeda caixa são idênticas, e as bolas em caixas diferentes possuem cores distintas. de quantas modos ela pode escolher 15 bolas dessas três caixas?
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Vamos considerar que:
x = quantidade de bolas da primeira caixa.
y = quantidade de bolas da segunda caixa.
z = quantidade de bolas da terceira caixa.
Daí, queremos saber quantas são as soluções possíveis para a conta x + y + z = 15.
Para sabermos a quantidade de soluções de uma equação, utilizamos a fórmula:
![Y= frac{(n+b-1)!}{b!(n-1)!}]()
sendo b = resultado da soma e n = quantidade de incógnitas.
Como a soma é x + y + z = 15, então b = 15 e n = 3.
Logo,
![Y= frac{(3+15-1)!}{15!(3-1)!} = frac{17!}{15!2!} = 136]()
ou seja, existem 136 resultados possíveis para x + y + z = 15.
Porém, cada caixa contém apenas 10 bolas.
Então, devemos retirar as seguintes somas:
15 + 0 + 0, 13 + 1 + 1, 11 + 2 + 2 (permutando teremos 3 somas de cada um)
14 + 1 + 0, 13 + 2 + 0, 12 + 2 + 1, 12 + 3 + 0, 11 + 4 + 0, 11 + 3 + 1 (permutando teremos 6 somas de cada um)
Portanto, Helena pode escolher as 15 bolas de 136 - (3.3 + 6.6) = 136 - 45 = 91 maneiras.
x = quantidade de bolas da primeira caixa.
y = quantidade de bolas da segunda caixa.
z = quantidade de bolas da terceira caixa.
Daí, queremos saber quantas são as soluções possíveis para a conta x + y + z = 15.
Para sabermos a quantidade de soluções de uma equação, utilizamos a fórmula:
sendo b = resultado da soma e n = quantidade de incógnitas.
Como a soma é x + y + z = 15, então b = 15 e n = 3.
Logo,
ou seja, existem 136 resultados possíveis para x + y + z = 15.
Porém, cada caixa contém apenas 10 bolas.
Então, devemos retirar as seguintes somas:
15 + 0 + 0, 13 + 1 + 1, 11 + 2 + 2 (permutando teremos 3 somas de cada um)
14 + 1 + 0, 13 + 2 + 0, 12 + 2 + 1, 12 + 3 + 0, 11 + 4 + 0, 11 + 3 + 1 (permutando teremos 6 somas de cada um)
Portanto, Helena pode escolher as 15 bolas de 136 - (3.3 + 6.6) = 136 - 45 = 91 maneiras.
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