Determine um número inteiro cujo produto por 9 seja um número...

Explicação passo-a-passo:

Deveremos ter um número, tal que seu produto por 9 seja do tipo 11111 ... 11.

devemos começar pelos algarismos das unidades, ou seja, temos que multiplicar 9 por um número, em cujo produto o algarismos das unidades seja 1. Esse número só pode ser 9, pois 9 x 9 = 81. Assim, o 1 fica e vai o 8.

Agora precisamos multiplicar 9 por um número em cujo o produto, a soma do algarismo das unidades com 8 resulte em um número que termine em 1. Logo, esse produto deve terminar em 3, logo temos 9 x 7 = 63 e 63 + 8 = 71. Fica o 1 e vai 7. Agora, o produto por 9 deve terminar em 4, logo temos 9 x 6 = 54 e 54 + 7 = 61. Fica o 1 e vai 6. O produto por 9 deve agora terminar em 5. Logo temos 9 x 5 = 45 e 45 + 6 = 51. Fica o 1 e vai 5. Temos que ter um produto que termine em 6. logo, temos 9 x 4 = 36 e 36 + 5 = 41. Fica 1 e vai 4. Precisamos ter um produto terminado em 7. Logo temos 9 x 3 = 27 e 27 + 4 = 31. Fica 1 e vai 3. O produto agora precisa terminar em 8. Logo temos 9 x 2 = 18 e 18 + 3 = 21. Fica 1 e vai 2. Finalmente, temos 9 x 1 = 9 e 9 + 2 = 11 que é o final da conta. Assim, temos o número 12345679, que multiplicado por 9 resulta em 111111111