Determine o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo...

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liviassiqueira

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Determine o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro z = 16−x2 e pelo plano y = 5

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Tay · Answer 1 · 2023-06-22T12:47:45-03:00

B

Explicação passo-a-passo:

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O volume de um sólido pode ser calculado por uma integral tripla da função constante. Podemos escrever:

$oxed{mathsf{V=displaystyle iiint_R1,dV}}$

1. Faça a parametrização da região de integração usando coordenadas cilíndricas:

$mathsf{x=r,cos, heta}\\mathsf{y=r,sen, heta}\\mathsf{z=z}$

2. Determine os limites de integração. Lembre-se que o sólido está no primeiro octante (veja figura abaixo), logo:

$mathsf{0leq r leq 1}\\mathsf{0leq heta leq dfrac{pi}{2}}\\mathsf{0leq z leq x}quad ightarrowquadmathsf{0leq z leq r,cos, heta}$

3. Calcule o jacobiano:

$mathsf{J(r, heta,z)}=left|egin{array}{ccc}mathsf{cos, heta}&mathsf{sen, heta}&mathsf{0}\-mathsf{r,sen, heta}&mathsf{r,cos, heta}&mathsf{0}\mathsf{0}&mathsf{0}&mathsf{1}end{array} ight| =mathsf{r}$

4. Substitua tudo e avalie a integral:

$mathsf{V=displaystyle iiint_R1,dV=int_0^{frac{pi}{2}}int_0^1int_0^{r,cos, heta}r,dz,dr,d heta}$

$=mathsf{displaystyle int_0^{frac{pi}{2}}igg(int_0^1r^2,cos, heta,drigg),d heta}$

$=mathsf{displaystyle dfrac{1}{3}cdot int_0^{frac{pi}{2}}cos, heta,d heta}}$

$=mathsf{dfrac{1}{3}cdot [sen, heta]_0^{frac{pi}{2}}=dfrac{1}{3}cdot[sen(pi/2)-sen,0]}\\=mathsf{dfrac{1}{3}cdot(1-0)}\\=mathsf{dfrac{1}{3}}$

Conclusão: a alternativa correta é a letra B.

Bons estudos! :D

Equipe/p>
$O volume do sólido no primeiro octante, limitado pelo cilindro {x^2} + {y^2} = 1 e o plano z = x é i$

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