Determine n tal que (1 + tg(1o ))(1 + tg(2o )...(1 + tg(45o ))...

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Determine n tal que (1 + tg(1o ))(1 + tg(2o )...(1 + tg(45o ))...

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Kiara Adães

há 1 ano - Matérias - Matemática

Determine n tal que (1 + tg(1o ))(1 + tg(2o )...(1 + tg(45o )) = 2n .

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Tira Duvidas · Answer 1 · 2023-06-02T03:05:35-03:00

displaystyle sf (1+tg 1^circ)cdot (1+tg 2^circ)cdot(1+tg 3^circ)...(1+tg 45^circ)=2^n

Vamos estudar o que acontece quando fazemos uma multiplicação desse tipo :

$displaystyle sf (1+tg alpha )cdot (1+tg eta ) = 1+tg alpha+ tg eta +tg alpha cdot tg eta \ underline{Vamos usar o arco soma da tangente} : \ tg(alpha+eta)=frac{tg alpha+tg eta}{1-tg alphacdot tg eta} \ tg alpha + tg eta = tg(alpha+eta)cdot [1-tg alphacdot tg eta] \ underline{vamos subsituir essa soma de tangentes de onde paramos} :$

$sf (1+tg alpha )cdot (1+tg eta ) = 1+underbrace{sf tg alpha+ tg eta}_{ sf tg(alpha+eta)cdot[1-tg alphacdot tg eta] } +tg alpha cdot tg eta$

$sf (1+tg alpha )cdot (1+tg eta ) = 1+tg(alpha+eta)cdot[1-tg alphacdot tg eta]+tg alpha cdot tg eta \ (1+tg alpha )cdot (1+tg eta )=1+tg(alpha+eta)-tg(alpha+eta)cdot tg alphacdot tg eta+tg alphacdot tg eta\ (1+tg alpha )cdot (1+tg eta )= 1+tg(alpha+eta)+tg alphacdot tg etacdot [1-tg(alpha+eta)]$

Então se pegarmos angulos, cujo

sf tg(alpha+eta)=1

alpha+ eta=45^circ

teremos que :

$sf (1+tg alpha )cdot (1+tg eta )= 1+underbrace{tg(alpha+eta)}_{displaystyle 1 }+tg alphacdot tg etacdot [1-underbrace{tg(alpha+eta)}_{displaystyle 1 }]\ (1+tg alpha )cdot (1+tg eta )= 1+1+tg alphacdot tg etacdot [1-1] \ (1+tg alpha )cdot (1+tg eta )= 2+tg alphacdot tg etacdot [0] \ oxed{sf (1+tg alpha )cdot (1+tg eta )=2 }$

Voltando para a questão, vamos pegar os produtos cujo os angulos somam 45º, assim :

$sf (1+tg 1^circ)cdot(1+tg 44^{circ})cdot(1+tg 2^circ)cdot(1+tg 43^circ)....(1+tg 45^circ) = 2^n \ underbrace{sf (1+tg 1^circ)cdot(1+tg 44^{circ})}_{2}cdot underbrace{sf (1+tg 2^circ)cdot(1+tg 43^{circ})}_{2}....(1+1)=2^n \ underbrace{2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2....}_{displaystyle 22 vezes}2=2^n \ 2^{22}cdot 2 = 2^n \ 2^{23}=2^n \ underline{Portanto}} : \ hugeoxed{displaystyle sf n = 23 }checkmark$

Determine n tal que (1 + tg(1o ))(1 + tg(2o )...(1 + tg(45o ))...

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