Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferencia...

Olá!

Temos:
x²+y²+10x-4y-7 = 0 -> Reorganizando:
x²+10x+y²-4y-7 = 0 (*) -> Aqui, utilizaremos o método de completar quadrados.

Vamos fazer separadamente:
I) x²+10x+m -> Precisamos descobrir o valor de m, de um trinômio da forma:
(x)²+2.x.5+5² -> Logo, m = 5, e ficamos com:
(x+5)² -> Porém, para não alterar a igualdade, vamos subtrair 25, ficando com:
(x+5)² - 25

II) y²-4y+n -> Precisamos descobrir o valor de n, de um trinômio da forma:
(y)²-2.y.2+2² -> Logo, n = 2, e ficamos com:
(y-2)² -> Da mesma forma:
(y-2)² - 4 

Com tudo pronto, vem:

(*)    (x+5)² - 25 + (y-2)² - 4 - 7 = 0 => (x+5)² + (y-2)² = 36 

Para descobrir o centro e o raio, comparamos:
(x-a)²+(y-b)² = r² -> E assim:

-a = 5 => a = -5
-b = -2 => b = 2
r² = 36 => r = √36 => r = 6

Logo: C(-5,2) e  r = 6

Espero ter ajudado! :)​