Determine a soma dos valores absolutos de todos os valores de...
Determine a soma dos valores absolutos de todos os valores de que satisfazem a equação abaixo:
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Note que
![(2+sqrt{3})cdot(2-sqrt{3})=2^{2}-(sqrt{3})^{2}=4-3=1\\ herefore~oxed{oxed{2-sqrt{3}=dfrac{1}{2+sqrt{3}}=(2+sqrt{3})^{-1}}}}]()
Portanto,
![(2-sqrt{3})^{x}=[(2-sqrt{3})]^{x}=[(2+sqrt{3})^{-1}]^{x}=(2+sqrt{3})^{-x}]()
_____________________
![(2+sqrt{3})^{x}+(2-sqrt{3})^{x}=4\\(2+sqrt{3})^{x}+(2+sqrt{3})^{-x}=4]()
Multiplicando todos os membros da igualdade por![(2+sqrt{3})^{x}]()
:
![(2+sqrt{3})^{x}(2+sqrt{3})^{x}+(2+sqrt{3})^{-x}(2+sqrt{3})^{x}=4(2+sqrt{3})^{x}\\(2+sqrt{3})^{x+x}+(2+sqrt{3})^{x-x}=4(2+sqrt{3})^{x}\\(2+sqrt{3})^{2x}+1=4(2+sqrt{3})^{x}\\ig[(2+sqrt{3})^{x}ig]^{2}-4(2+sqrt{3})^{x}+1=0]()
Podemos tratar essa igualdade como uma equação do segundo grau com variável![y=(2+sqrt{3})^{x}]()
Encontrando as soluções de![y^{2}-4y+1=0]()
:
![y=dfrac{-(-4)pmsqrt{(-4)^{2}-4cdot1cdot1}}{2}=dfrac{4pmsqrt{12}}{2}=dfrac{4pm2sqrt{3}}{2}=2pmsqrt{3}]()
A equação possui duas raízes reais![y_{1}=2+sqrt{3},~y_{2}=2-sqrt{3}]()
Portanto, os valores de x que satisfazem a equação são dados por
![y_{1}=(2+sqrt{3})^{x_{1}}=2+sqrt{3}=(2+sqrt{3})^{1}~~~~Rightarrow~~oxed{oxed{x_{1}=1}}\\y_{2}=(2+sqrt{3})^{x_{2}}=2-sqrt{3}=(2+sqrt{3})^{-1}~~Rightarrow~~oxed{oxed{x_{2}=-1}}]()
Daí, a soma dos valores absolutos das soluções da equação é
![|x_{1}|+|x_{2}|=|1|+|-1|=|1|+|1|=1+1~~Rightarrow~oxed{oxed{|x_{1}|+|x_{2}|=2}}]()
Portanto,
![(2-sqrt{3})^{x}=[(2-sqrt{3})]^{x}=[(2+sqrt{3})^{-1}]^{x}=(2+sqrt{3})^{-x}](/image/0392/2471/b0291.png)
_____________________
Multiplicando todos os membros da igualdade por
:![(2+sqrt{3})^{x}(2+sqrt{3})^{x}+(2+sqrt{3})^{-x}(2+sqrt{3})^{x}=4(2+sqrt{3})^{x}\\(2+sqrt{3})^{x+x}+(2+sqrt{3})^{x-x}=4(2+sqrt{3})^{x}\\(2+sqrt{3})^{2x}+1=4(2+sqrt{3})^{x}\\ig[(2+sqrt{3})^{x}ig]^{2}-4(2+sqrt{3})^{x}+1=0](/image/0392/2471/ea5ac.png)
Podemos tratar essa igualdade como uma equação do segundo grau com variável
Encontrando as soluções de
:
A equação possui duas raízes reais
Portanto, os valores de x que satisfazem a equação são dados por
Daí, a soma dos valores absolutos das soluções da equação é
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