Determine a área hachurada interior ao hexágono regular de lad...

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Determine a área hachurada interior ao hexágono regular de lad...

Determine a área hachurada interior ao hexágono regular de lado 2 cm e exterior ao triângulo isósceles, conforme a figura abaixo.

Determine a área hachurada interior ao hexágono regular de lado 2 cm e exterior ao triângulo isósce

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Felipe · Answer 1 · 2021-12-01T11:49:23-03:00

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre geometria.

Primeiro, nomeamos os vértices do hexágono como na primeira imagem em anexo.

Trace uma reta unindo os vértices e , como na segunda imagem em anexo.

Sabemos que os ângulos nos vértices deste hexágono podem ser calculados pela fórmula para o cálculo de ângulos internos: $alpha_i=dfrac{S_i}{n}=dfrac{180^{circ}cdot (n-2)}{n}$ , em que é o número de lados do polígono.

$alpha=dfrac{180^{circ}cdot (6-2)}{6}=dfrac{180^{circ}cdot 4}{6}=dfrac{720^{circ}}{6}=120^{circ}$

Calculamos a área do triângulo riangle{ ext{AEF}} utilizando a fórmula: $A( riangle{AEF})=dfrac{overline{EF}cdot overline{FA}cdotsin(alpha)}{2}$ , em que e são os comprimentos dos segmentos que unem os vértices e alpha é o ângulo Ehat{F}A , isto é, $60^{circ}$ ;

$A( riangle{AEF})=dfrac{2cdot 2cdotsin(120^{circ})}{2}=dfrac{4cdot dfrac{sqrt{3}}{2}}{2}=sqrt{3}~ ext{cm}^2$

Agora, calculamos o comprimento do segmento overline{AE} por meio da lei dos cossenos: $overline{AE}^2=overline{EF}^2+overline{FA}^2-2cdot overline{EF}cdotoverline{FA}cdot cos(alpha)$ ;

$overline{AE}^2=2^2+2^2-2cdot 2cdot2cdot cos(120^{circ})=4+4-2cdot2cdot2cdotleft(-dfrac{1}{2}ight)=8+4=12\ overline{AE}=sqrt{12}=2sqrt{3}~ ext{cm}$

Então, note que o outro triângulo formado é retângulo em .

Calculamos o comprimento do segmento que une o vértice ao ponto médio do segmento overline{AB} , , isto é, metade do comprimento do lado do hexágono: $overline{AG}=dfrac{overline{AB}}{2}=dfrac{2}{2}=1$ .

Daí, calculamos a área do triângulo retângulo por meio da fórmula: $A( riangle{ ext{AGE}})=dfrac{overline{AG}cdotoverline{AE}}{2}$

$A( riangle{ ext{AGE}}) = dfrac{1cdot 2sqrt{3}}{2}=sqrt{3}$

Somando-se as áreas encontradas, temos:

$A( riangle{ ext{AEF}})+A( riangle{ ext{AGE}})=sqrt{3}+sqrt{3}=2sqrt{3}~ ext{cm}^2$

Note que, dado que o triângulo riangle{ ext{GDE}} é isósceles, os comprimentos de overline{GD} e overline{GE} são iguais, portanto o triângulo divide igualmente o hexágono. Isto significa que a área hachurada é o dobro da área que encontramos:

$A( ext{hachurada})=2cdot 2sqrt{3}=4sqrt{3}~ ext{cm}^2~~checkmark$

Determine a área hachurada interior ao hexágono regular de lado 2 cm e exterior ao triângulo isóscel

Determine a área hachurada interior ao hexágono regular de lad...

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