Determine a matriz inversivel de b=

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Murilo Diane

há 1 ano - Matérias - Matemática

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Kauany · Answer 1 · 2023-08-02T04:02:25-03:00

1) Encontrar o determinante da matriz mathbf{B}

:

A matriz mathbf{B}

só será invertível se o seu determinante for diferente de zero. Calculando o determinante, temos

detleft(mathbf{B} ight )=detleft[ egin{array}{ccc} -1&2&1 2&3&5 1&-1&2 end{array} ight ] detleft(mathbf{B} ight )=left(-1 ight )cdot 3 cdot 2+2 cdot 5 cdot 1+1 cdot 2 cdot left(-1 ight ) -1cdot 3 cdot 1-left(-1 ight )cdot 5 cdot left(-1 ight )-2 cdot 2 cdot 2 detleft(mathbf{B} ight )=-6+10-2 -3-5-8 detleft(mathbf{B} ight )=2-16 detleft(mathbf{B} ight )=-14 eq 0

detleft(mathbf{B} ight )=detleft[ egin{array}{ccc} -1&2&1 2&3&5 1&-1&2 end{array} ight ] detleft(mathbf{B} ight )=left(-1 ight )cdot 3 cdot 2+2 cdot 5 cdot 1+1 cdot 2 cdot left(-1 ight ) -1cdot 3 cdot 1-left(-1 ight )cdot 5 cdot left(-1 ight )-2 cdot 2 cdot 2 detleft(mathbf{B} ight )=-6+10-2 -3-5-8 detleft(mathbf{B} ight )=2-16 detleft(mathbf{B} ight )=-14 eq 0

2) Encontrar a matriz adjunta (ou matriz cofatora transposta) de mathbf{B}

:

Cada elemento $b_{ij}$ da matriz mathbf{B}

possui um cofator $c_{ij}$ correspondente. Este cofator é igual a $left(-1 ight )^{i+j}$ vezes o determinante menor da matriz que resta ao se remover a linha

e a coluna

de

.

Então vamos calcular os cofatores dos elementos de mathbf{B}

:

$ullet;;c_{11}=left(-1 ight )^{1+1}cdot detleft[ egin{array}{cc} 3&5 -1&2 end{array} ight ] c_{11}=1cdot left[,3cdot 2-left(-1 ight )cdot 5, ight ] c_{11}=1cdot left[,6+5, ight ] c_{11}=11$

$ullet;;c_{12}=left(-1 ight )^{1+2}cdot detleft[ egin{array}{cc} 2&5 1&2 end{array} ight ] c_{12}=-1cdot left[,2cdot 2-1cdot 5, ight ] c_{12}=-1cdot left[,4-5, ight ] c_{12}=1$

$ullet;;c_{13}=left(-1 ight )^{1+3}cdot detleft[ egin{array}{cc} 2&3 1&-1 end{array} ight ] c_{13}=1cdot left[,2cdot left(-1 ight )-1cdot 3, ight ] c_{13}=1cdot left[,-2-3, ight ] c_{13}=-5$

$ullet;;c_{21}=left(-1 ight )^{2+1}cdot detleft[ egin{array}{cc} 2&1 -1&2 end{array} ight ] c_{21}=-1cdot left[,2cdot 2-left(-1 ight )cdot 1, ight ] c_{21}=-1cdot left[,4+1, ight ] c_{21}=-5$

$ullet;;c_{22}=left(-1 ight )^{2+2}cdot detleft[ egin{array}{cc} -1&1 1&2 end{array} ight ] c_{22}=1cdot left[,left(-1 ight )cdot 2-1cdot 1, ight ] c_{22}=1cdot left[,-2-1, ight ] c_{22}=-3$

$ullet;;c_{23}=left(-1 ight )^{2+3}cdot detleft[ egin{array}{cc} -1&2 1&-1 end{array} ight ] c_{23}=-1cdot left[,left(-1 ight )cdot left(-1 ight )-1cdot 2, ight ] c_{23}=-1cdot left[,1-2, ight ] c_{23}=1$

$ullet;;c_{31}=left(-1 ight )^{3+1}cdot detleft[ egin{array}{cc} 2&1 3&5 end{array} ight ] c_{31}=1cdot left[,2 cdot 5-3cdot 1, ight ] c_{31}=1cdot left[,10-3, ight ] c_{31}=7$

$ullet;;c_{32}=left(-1 ight )^{3+2}cdot detleft[ egin{array}{cc} -1&1 2&5 end{array} ight ] c_{32}=-1cdot left[,left(-1 ight ) cdot 5-2cdot 1, ight ] c_{32}=-1cdot left[,-5-2, ight ] c_{32}=7$

$ullet;;c_{33}=left(-1 ight )^{3+3}cdot detleft[ egin{array}{cc} -1&2 2&3 end{array} ight ] c_{33}=1cdot left[,left(-1 ight ) cdot 3-2cdot 2, ight ] c_{33}=1cdot left[,-3-4, ight ] c_{33}=-7$

A matriz dos cofatores de mathbf{B}

é

$mathrm{cof}left(mathbf{B} ight )=left[ egin{array}{ccc}c_{11}&c_{12}&c_{13} c_{21}&c_{22}&c_{23} c_{31}&c_{32}&c_{33} end{array} ight ] mathrm{cof}left(mathbf{B} ight )=left[ egin{array}{ccc} 11&1&-5 -5&-3&1 7&7&-7 end{array} ight ]$

A matriz adjunta de

é a transposta da matriz dos cofatores, que é

$mathrm{adj}left(mathbf{B} ight )=left[,mathrm{cof}left(mathbf{B} ight ), ight ]^{t} mathrm{adj}left(mathbf{B} ight )=left[ egin{array}{ccc} 11&-5&7 1&-3&7 -5&1&-7 end{array} ight ]$

3) A matriz inversa de

é igual ao inverso do determinante de mathbf{B}

multiplicado pela matriz adjunta de mathbf{B}

, que é

$mathbf{B}^{-1}=dfrac{1}{det mathbf{B}}cdot mathrm{adj}left(mathbf{B} ight ) mathbf{B}^{-1}=dfrac{1}{-14}cdot left[ egin{array}{ccc} 11&-5&7 1&-3&7 -5&1&-7 end{array} ight ] mathbf{B}^{-1}=dfrac{1}{14}cdot left[ egin{array}{ccc} -11&5&-7 -1&3&-7 5&-1&7 end{array} ight ]$

Determine a matriz inversivel de b=

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