Dados a circunferência C: x2 + y2 - 4x + 6 y - 23 = 0 e o pont...

Question

Dados a circunferência C: x2 + y2 - 4x + 6 y - 23 = 0 e o pont...

Dados a circunferência C: x2 + y2 - 4x + 6 y - 23 = 0 e o pontoP(4,4), determine o raio da circunferência tangente a C cujo centro é P.

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Kauany · Answer 1 · 2021-12-01T09:56:12-03:00

Para ser mais fácil interpretar este exercício, fiz um esquema que deixo em anexo.

Nele poderás ver mais facilmente que o raio da circunferência de centro P, tangente à circunferência dada, é a diferença entre a distância entre os centros das circunferências e o raio da circunferência dada, ou seja, sendo c a circunferência dada, C o seu centro, e p a circunferência de centro P,

$r_p=overline{CP}-r_c$

Comecemos por determinar o raio e centro da circunferência c.

As circunferências de centro (a ; b) são, normalmente, descritas por equações do tipo (x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Tentemos reescrever a equação dada para chegar a este tipo de equação.

x^2+y^2-4x+6y-23=0Leftrightarrow

Leftrightarrow (x^2-4x)+(y^2+6y)=23Leftrightarrow

Leftrightarrow (x^2-2 imes2x)+(y^2+2 imes3y)=23Leftrightarrow

Leftrightarrow (x^2-2 imes2x+2^2-2^2)+(y^2+2 imes3y+3^2-3^2)=23Leftrightarrow

Leftrightarrow (x^2-2 imes2x+2^2)+(y^2+2 imes3y+3^2)=23+2^2+3^2Leftrightarrow

Leftrightarrow (x^2-2 imes2x+2^2)+(y^2+2 imes3y+3^2)=23+4+9Leftrightarrow

Leftrightarrow (x-2)^2+(y+3)^2=36Leftrightarrow

Leftrightarrow (x-2)^2+(y+3)^2=6^2

Podemos assim concluir que a circunferência c tem centro (2 ; -3) e raio 6.

Calculemos agora a distância entre os centros das circunferências.

$overline{CP}=sqrt{(x_p-x_c)^2+(y_p-y_c)^2}Leftrightarrow$

$Leftrightarrowoverline{CP}=sqrt{(4-2)^2+(4-(-3))^2}Leftrightarrow$

$Leftrightarrowoverline{CP}=sqrt{(4-2)^2+(4+3)^2}Leftrightarrow$

$Leftrightarrowoverline{CP}=sqrt{2^2+7^2}Leftrightarrow$

Leftrightarrowoverline{CP}=sqrt{4+49}Leftrightarrow

Leftrightarrowoverline{CP}=sqrt{53}

Podemos, agora, calcular o raio da circunferência p usando a equação que deduzimos no princípio.

$r_p=overline{CP}-r_cLeftrightarrow$

$Leftrightarrow r_p=sqrt{53}-6Leftrightarrow$

Leftrightarrow r_papprox 1,28

resposta: O raio da circunferência tangente a C cujo centro é P mede sqrt{53}-6 , isto é, cerca de 1,28.

Podes ver mais exercícios sobre geometria em:

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