Dado um ponto p no interior de um retângulo abcd, de diagonais...

Não sabemos exatamente onde está o ponto P. Então, o colocamos dentro do retângulo em qualquer lugar.

Agora, dividimos o retângulos em 4 retângulos menores, passando pelo ponto P. Assim, os segmentos AP, DP, BP e DP serão diagonais em cada um desses 4 retângulos.

Agora, chamamos de E o ponto de encontro do segmento perpendicular com o lado AD; e de F o ponto de encontro do segmento perpendicular com o lado DC. Chamemos suas medidas de x e de y, respectivamente, para facilitar o cálculo.

e F os pontos por onde passa a linha vertical do ponto P.

Assim, pelo teorema de Pitágoras, temos:

(I) AP² = (AD - x)² + y²  

(II) CP² = (AB - y)² + x²

(III) BP² = (AB - y)² + (AD - x)²

(IV) DP² = x² +  y²

Somando (I) e (II), temos:

(AD - x)² + y² + (AB - y)² + x²

(AD - x)² + (AB - y)² + y² + x²

E somando (III) e (IV), temos:

(AB - y)² + (AD - x)² +  x² +  y²

São iguais!

(I) + (II) = (III) + (IV)

AP² + CP² = BP² + DP²

Veja a figura abaixo para entender melhor.