Dada a função f(x)=(m-1/m+1)x^2+x+4, calcule m e r de modo que...

Vamos lá.

Veja, Luciano, que a resolução é simples.
Pede-se o valor de "m" real, de modo que a parábola da equação abaixo tenha a sua concavidade voltada pra cima:

f(x) = [(m-1)/(m+1)]x² + x + 4 .

Agora note isto que é muito importante: quando uma função do 2º grau, da forma f(x) = ax² + bx + c , o seu gráfico (parábola) terá a sua concavidade voltada pra cima se o termo "a" for positivo (o termo "a" é o coeficiente de x²) e terá a sua concavidade voltada pra baixo se o termo "a" for negativo.

Tendo, portanto o que se disse aí em cima como parâmetro, então o termo "a" da função dada [f(x) = [(m-1)/(m+1)]x² + x + 4]] deverá ser maior do que zero. E note que o termo "a" da função acima é o coeficiente de x². Assim, vamos impor que ele seja positivo (>0). Logo:

(m-1)/(m+1) > 0

Note que temos aí em cima uma inequação-quociente cujo resultado deverá ser MAIOR do que zero. Temos f(m) = m - 1 e g(m) = m + 1.
Agora faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações e, depois, analisaremos a variação de sinais de cada uma delas em função de suas raízes. Assim:

f(m) = m - 1 ---> raízes: m - 1 = 0 ---> m = 1
g(m) = m + 1 --> raízes: m+1 = 0 ---> m = - 1

Agora estudaremos a variação de sinais de cada uma delas e veremos, depois, qual é o intervalo que dará o domínio da inequação original (m-1)/(m+1) > 0. Assim:

a) f(m) = m - 1 ... - - - - - - - - - - - - - - - - - - (1) + + + + + + + + + + + + + + + +
b) g(m) = m + 1..- - - - - - - - (-1)+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
c) a / b . . . . . . . ..+ + + + + +(-1)- - - - - - - - (1)+ + + + + + + + + + + + + + + +

Como queremos que a divisão de f(m) por g(m) seja positivo (> 0), então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS no item "c" acima, que nos fornece o resultado da divisão de f(m) por g(m).
Assim, o domínio da inequação dada será este:

m < -1 , ou m > 1

Se você quiser, poderá apresentar o domínio da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

D = {m ∈ R | m < -1, ou m > 1}

Ou ainda, também se quiser, o domínio poderá ser apresentado do modo a seguir, o que significa o mesmo:

D = (-∞; -1) ∪ (1; +∞)

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.​